Encontrar el valor de $x$ tal que $$\dfrac{(x+\alpha)^n-(x+\beta)^n}{\alpha-\beta} = \dfrac{\sin n\theta}{\sin ^n \theta}$$ when $\alfa$ and $\beta$ are the roots of $t^2 − 2t + 2 = 0$.
Aquí va mi intento:
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Sugerencia:
WLOG deje $\alpha=1+i,\beta+1-i\implies\alpha+\beta=?,\alpha-\beta=?$
El uso de la prueba de Euler fórmula: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i*\sin(\varphi)$?, $$e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x$$
$$\implies\dfrac{\sin(n\theta)}{\sin^n\theta}=\dfrac1{2i}\cdot\left(\left(\dfrac{e^{i\theta}}{\sin\theta}\right)^n-\left(\dfrac{e^{-i\theta}}{\sin\theta}\right)^n\right)$$
Se puede tomar desde aquí?
Farkhod Gaziev
Puntos
6
WLOG deje $\alpha=1+i,\beta+1-i\implies\alpha+\beta=?,\alpha-\beta=?$
Deje $2\cot t=x+\alpha+x+\beta=2(x+1)$
$$(x+\alpha)^n-(x+\beta)^n=\dfrac{2i\sin nt}{\sin^nt}=\dfrac{(\alpha-\beta)\sin nt}{\sin^nt}$$
el uso de de Moivre del teorema de
