Cómo calcular la transformada de Fourier de $\frac{1}{(t-2\pi)^2} e^{2jt} \sin^2 t$?

Question

En un examen me preguntaron para calcular la transformada de Fourier de $$\frac{1}{(t-2\pi)^2} e^{2jt} \sin^2 t$$

Me he pasado un montón de tiempo tratando de averiguar cual es la combinación de las propiedades de uso pero no puedo llegar a una buena solución. He tratado de convertir el $\sin^{2}$ a exponenciales utilizando fórmulas de Euler y, a continuación, trató de simplificar todo el exponenciales pero no obtengo un resultado que puede transformar. También probé usando las propiedades de cambio de frecuencia y a la inversa, pero no funciona para mí.

Estaría agradecido si alguien me podria decir algunos consejos sobre cómo resolver el ejercicio.

Answer 1

Observar que $\sin(t)=\sin(t-2\pi)$ y, a continuación, $$ \mathrm e^{j2t}\frac{\sin^2(t)}{(t-2\pi)^2}=\mathrm e^{j2t}\left(\frac{\sin(t-2\pi}{t-2\pi}\right)^2=\mathrm e^{j2t}\mathrm{pues}^2\left(t-2\pi\right) $$ donde $\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin x}{ x}$.

Ahora el uso de la transformada de Fourier se define como $\mathcal F\{f(x)\}=\hat{f}(\xi)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi jx\xi }\,\mathrm dx$ hemos

$$\mathcal F\{\mathrm{sinc}^2(t)\}=\pi\,\mathsf{Tri}(\pi\xi)$$ donde $\mathsf{Tri}(x)$ es la función triangular y mediante el cambio de la propiedad en el tiempo y frecuencia $$\mathcal F\{f(x-a)\mathrm e^{jbx}\}=\mathrm e^{-2\pi ja\xi}\hat f\left(\xi-\frac{b}{2\pi}\right)$$ nos encontramos, poniendo a $a=2\pi$ $b=2$ $$ \mathcal F\left\{\mathrm e^{j2t}\mathrm{pues}^2\left(t-2\pi\right)\right\}=\pi\,\mathsf{Tri}(\pi\xi-1)\mathrm e^{-j4\pi^2\xi} $$

Answer 2

Primero que volver a escribir $$e^{2jt} \sin^2 t = e^{2jt} \frac{1}{(2j)^2} \left(e^{jt} - e^{-jt}\right)^2 = e^{2jt} \frac{1}{-4} \left(e^{2jt} - 2 + e^{-2jt}\right) = \frac{1}{4} \left( - e^{4jt} + 2e^{2jt} - 1 \right)$$ utilizando el enfoque que usted ha mencionado. Usted obtendrá una suma ponderada de los tres delta pulsos. Por otro lado, el término $$\frac{1}{t^2}$$ tiene un conocido transformar, buscar en una tabla. Sólo hay que aplicar el cambio de hora de propiedad para obtener la transformación de $$\frac{1}{(t-2\pi)^2} \ .$$ Su expresión es el producto de los dos discuten términos, por lo que su transformación es el dominio de la frecuencia de la convolución de cada uno de sus transformaciones. Convolución con una suma de delta pulsos es muy fácil. Luego ya está.