Una propiedad de pullbacks.

Question

En la categoría regular, deje que las siguientes dos plazas de ser pullbacks: $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} A @>a'>> B\\ @V b' V V @VV b V\\ C @>>a> D \end{CD}$$ $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} A @>a'>> B\\ @V c' V V @VV c V\\ C @>>a> D \end{CD}$$ con $a$ regular epimorphism. Es cierto que $b=c$?

Answer 1

No hay absolutamente ninguna razón para que este sea el caso. Por ejemplo, en cualquier categoría de la plaza $$\begin{CD} A @>{id_A}>> A\\ @V b V V @VV b V\\ C @>>{id_C}> C \end{CD}$$ es un retroceso, no importa lo $b$ es, así que usted puede conseguir un contraejemplo simplemente tomando cualquiera de los dos objetos de $A,C$ con más de una flecha entre ellos.