Si $\cos3A + \cos3B + \cos3C = 1$ en un triángulo, encontrar una de sus longitudes

Question

Me gustaría resolver el siguiente problema.

En $\triangle ABC, AC = 10, BC = 13$ . Si $\cos3A + \cos3B + \cos3C = 1$ calcula la longitud de $AB$ .

Pensé que podía aplicar la Ley de los Cosenos. Utilizando el hecho de que $A+B+C=\pi$ Intenté construir la ecuación a partir de ahí.

Lo que obtuve fue que $$\cos3A+\cos3B-\cos(3A+3B)=1$$

Ampliando, obtuve $$\cos3A+\cos3B-\cos3A\cos3B-\sin3A\sin3B=1$$

Ahora bien, es posible que sea capaz de factorizarlo de alguna manera reescribiendo todo en términos de coseno y llegar a la respuesta, pero ¿hay una forma mejor de resolver el problema? Gracias.

Answer 1

$\mathbf {Hint...}$

$$\cos {3A}+\cos {3B}+ \cos{3C}=1$$ $$\Rightarrow 4 \sin {\frac {3C}{2}} .\sin {\frac{3B}{2}} .\sin{\frac{3A}{2}}=0$$

Por lo tanto, el mayor ángulo del triángulo es $\frac{2\pi}{3}$ que puede ser un ángulo $C$ o ángulo $A$ . Aplicando la regla del coseno en cada uno de estos casos obtenemos el valor de $AB$ como $\sqrt {399}$ o $\sqrt {94}-5$ respectivamente.

Nota:

$$\cos {3A}+\cos {3B}+ \cos{3C}=1$$ $$\Rightarrow -2\cos {\frac {3(A-B)}{2}}\sin {\frac {3C}{2}}= 2\left(\sin {\frac {3C}{2}}\right)^2$$

$$\sin\frac{3C}{2}\left(\cos\frac{3(A-B)}{2}+ \sin\frac{3C}{2}\right)=0$$

$$\sin\frac{3C}{2}\left(\cos\frac{3(A-B)}{2}-\cos\frac{3(A+B)}{2}\right)=0$$

$$\sin\frac{3C}{2}\sin\frac{3B}{2}\sin\frac{3A}{2}=0.$$

Answer 2

Tenemos $$2\cos\frac{3A+3B}{2}\cos\frac{3A-3B}{2}-2\sin^2\frac{3C}{2}=0$$ o $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2}\right)\cos\frac{3A-3B}{2}-\sin^2\frac{3C}{2}=0$$ o $$\sin\frac{3C}{2}\left(-\cos\frac{3A-3B}{2}-\sin\frac{3C}{2}\right)=0$$ o $$\sin\frac{3C}{2}\left(-\cos\frac{3A-3B}{2}+\cos\frac{3A+3B}{2}\right)=0$$ o $$\sin\frac{3C}{2}\sin\frac{3C}{2}\sin\frac{3C}{2}=0$$ o $$\prod_{cyc}\left(3\sin\frac{A}{2}-4\sin^3\frac{A}{2}\right)=0$$ o $$\prod_{cyc}\left(3-4\sin^2\frac{A}{2}\right)=0$$ o $$\prod_{cyc}\left(3-2(1-\cos{A})\right)=0$$ o $$\prod_{cyc}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}\right)=0$$ o $$\prod_{cyc}(b^2+c^2+ab-a^2)=0.$$ ¿Puedes terminar ahora?

Answer 3

Utilizando la identidad \begin {align} \cos3\alpha + \cos3\beta + \cos3\gamma &= 1- \frac {r\,(3\, \rho ^2-(r+3\,R)^2)}{R^3} \tag {1} \label {1} , \end {align} donde $r$ es el inradio, $R$ es el circunradio y $\rho$ es el semiperímetro del triángulo, condición \begin {align} \cos3\alpha + \cos3\beta + \cos3\gamma &=1 \end {align}

resultados en

\begin {align} 3\, \rho ^2-(r+3\,R)^2&=0 , \\ 3\, \rho ^2- \left ( \frac {S}{ \rho }+3\, \frac {abc}{4S} \right )^2&=0 , \\ 3\, \rho ^2 - \frac {S^2}{ \rho ^2} - \frac {3abc}{2 \rho } - \tfrac {9}{16} \frac {(abc)^2}{S^2}&=0 \tag {2} \label {2} , \\ \end {align} donde $S$ es el área del triángulo. Con la ayuda de la sustitución \begin {align} \rho &= \tfrac12 (a+b+c) , \\ S^2&= \tfrac1 {16}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) , \\ a&=13 , \quad b=10 \end {align}

ecuación \eqref {2} se convierte en

\begin {align} \frac {(c^2-399)(c^2+13c+69)(c^2+10c-69)}{(c^2-9)(c^2-23^2)} &=0 , \end {align}

con sólo dos raíces adecuadas, \begin {align} c_1&= \sqrt {399} , \\ c_2&= \sqrt {94}-5 . \end {align}