Piedra-teorema de von Neumann

Question

De acuerdo a la Piedra-teorema de von Neumann, cualquiera de los dos canónicamente conjugadas auto adjuntos a los operadores de la siguiente relación: $$[\hat{q},\hat{p}]=i\hbar$$ no puede ser acotada. Estoy confundido acerca de cómo podemos demostrar esta parte y lo que significa físicamente? ¿Alguien puede explicar?

Answer 1

Me comentó que la Piedra-von Neumann teorema no es una prueba para la declaración en el principio de la pregunta. El original de las constancias de la Wielandt-Wintner teorema (por cierto, fue sólo en 1947-1948, mientras que la Piedra-teorema de von Neumann tuvo una satisfactoria la prueba de von Neumann ya en 1931) se encuentran en:

Wintner, A. - La Unboundness de la Mecánica Cuántica Matrices (1947, El physical Review, Vol. 71, p. 738-739)

Wielandt, H. - Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik (1948, Mathematische Annalen, p. 21).

La esencia de Wielandt la prueba de ello es la nota 6 de la citada página de la Wiki:

La importancia de tener ilimitado a los operadores de coordenadas y el impulso en el eje real (1D) es que la partícula "quantum movimiento" es sin restricciones, en el sentido de que cualquiera de las coordenadas o el impulso puede ser medido a un valor alto arbitrario (infinita en el límite), es decir, matemáticamente, sin límites de los operadores no tienen una limitada del espectro.

Answer 2

Teorema: Si dos (no necesariamente auto-adjunto) delimitada operadores de $\hat{q}$ $\hat{p}$ sobre un espacio de Hilbert satisfacer el CCR $$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar~{\bf 1}, \qquad i\hbar~\in~\mathbb{C},\tag{1}$$ a continuación,$i\hbar=0$.

Prueba indirecta: (Esta es esencialmente la prueba de la Ref. 1.) Suponga $$i\hbar~\neq~ 0.\tag{2}$$ Desde $\hat{p}$ es acotado, podemos turno $$\hat{p}^{\prime}~:=~\hat{p}+ b{\bf 1}\tag{3}$$ por una finita cantidad positiva $b>0$, por lo que el $\hat{p}^{\prime}$ es un operador invertible, y por lo que $\hat{p}^{\prime}$ $\hat{p}^{\prime -1}$ son tanto limitada a los operadores. Tenga en cuenta que la imprimación operador $\hat{p}^{\prime}$ también satisface el CCR (1). Dejarnos caer el primer notación a partir de ahora. Los espectros $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q}\hat{p}\hat{p}^{-1})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q})\tag{4} $$ de los operadores acotados $\hat{q}\hat{p}$ $\hat{p}\hat{q}$ debe ser igual delimitada conjuntos. Por otro lado, el CCR (1) muestra que los espectros se desplazan $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +i\hbar\tag{5}$$ La única manera de que el nca. (2), (4) & (5) podría ser que no son mutuamente contradictorios es si los espectros se la vacía de conjuntos. Sin embargo, esto se contradice con el hecho general (mencionado sobre, por ejemplo, Wikipedia y MO.SE) que

Hecho: Cada operador acotado no vacío espectro.

$\Box$

Nota: Si estamos, además, asumir que $\hat{q}$ $\hat{p}$ son auto-adjunto, no tenemos necesidad de utilizar el hecho. A continuación, el colector (1) es anti-selfadjoint, por lo que el $\hbar\in\mathbb{R}$ debe ser real. Además, el operador acotado $$ \hat{s}~:=~\hat{q}\hat{p}-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\hat{p}\hat{q} +\frac{i\hbar}{2}~=~\hat{s}^{\dagger}, \tag{6}$$ es selfadjoint, y por lo tanto (desde el teorema espectral) tiene un no-vacío real del espectro $$ \emptyset~\neq~\sigma(\hat{s})~\stackrel{(6)}{=}~\sigma(\hat{q}\hat{p})-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +\frac{i\hbar}{2}, \tag{7}$$ que es eq. (5) sin la laguna de vacío conjuntos. $\Box$

Referencias:

1. A. Wintner, Phys. Apo. 71 (1947) 738.

Answer 3

Conjugar las variables/operadores están relacionados por transformada de Fourier, es decir, el (quantum) de los estados de una observables son la transformada de Fourier de la otra y, como tal, sólo uno de ellos puede tener un tamaño compacto (a menos que sea un cero de la función). Esto se conoce como la Incertidumbre respecto de las transformadas de Fourier. Intuitivamente, esto significa que la propagación de una variable y su transformada de Fourier de doble son inversamente proporcionales, que físicamente se traduce en por ejemplo, la posición de ser localizada (concentrado) y el impulso transferido (extendida). Para una prueba de enfoque de ver Qmechanic la respuesta.

Físicamente, todos los tipos de variables/variables observables son incompatibles (no conmutan $XP - PX \neq 0$ donde$P \propto F^{-1} X F$$F: L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$ ), como en el que no puede ser medido de forma simultánea a la precisión arbitraria. En otras palabras, las incertidumbres en las dos variables que están siempre limitadas por el promedio de su conmutador (incluso si usted hace las mediciones por separado en un conjunto de infinitos idénticamente preparados los sistemas cuánticos). Estas incertidumbres son una propiedad intrínseca de cualquier estado cuántico.