¿Qué aspecto tiene una transformación galileana de las ecuaciones de Maxwell?

Question

En la década de 1860, Maxwell formuló lo que ahora se llama la ecuación de Maxwell, y descubrió que conducen a una conclusión notable: la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan a una velocidad $c$ que resulta ser la velocidad de la luz, lo que implica que la luz es una onda electromagnética. Ahora bien, el hecho de que las ecuaciones de Maxwell predigan que la velocidad de la luz es $c$ sugirió a Maxwell y a otros que las ecuaciones de Maxwell no son realmente ciertas en todos los marcos de referencia. En su lugar, pensaron, las ecuaciones de Maxwell sólo son verdaderas en un marco, el marco de reposo del éter, y en todos los demás marcos tendrían que ser reemplazadas por otras ecuaciones, ecuaciones que fueran invariantes bajo las transformaciones galileanas para ajustarse al principio de relatividad. Estas otras ecuaciones implicaban que la velocidad de la luz en otros marcos era realmente $c+v$ o $c-v$ , donde $v$ es la velocidad del éter. Pero entonces el experimento de Michelson-Morley, que pretendía encontrar la velocidad $v$ del éter, terminó demostrando que la velocidad de la luz era $c$ en todos los marcos, contradiciendo aparentemente el principio de la relatividad. Pero Einstein demostró que esto no contradice en absoluto el principio de la relatividad, sino que hay que replantearse las nociones de espacio y tiempo.

Pero mi pregunta es, ¿cuáles son las ecuaciones que la gente pensaba que eran verdaderas en marcos distintos al marco del éter? Dicho de otro modo, ¿cuáles son las ecuaciones que se obtienen si se aplica una transformación galileana a las ecuaciones de Maxwell? (A diferencia de una transformación de Lorentz que deja las ecuaciones de Maxwell sin cambios).

De hecho, ya he visto las ecuaciones obtenidas. Fueron formuladas por algún físico del siglo XIX, quizá Hertz o Heaviside, y consisten en añadir términos dependientes de la velocidad a la ley de Ampere-Maxwell y a la ley de Faraday. (Dependientes de la velocidad del éter, es decir.) Pero no recuerdo los detalles.

Answer 1

No soy un experto en el desarrollo histórico del tema, sin embargo voy a ofrecer una derivación.

Considere dos marcos de referencia $S$ y $S'$ y supongamos que $S'$ se mueve con velocidad $\textbf v$ con respecto a $S$ . Coordenadas en $S$ y $S'$ están relacionados por una transformación galileana: $$\begin{cases} t' = t \\ \textbf x' = \textbf x-\textbf vt\end{cases}$$ Para encontrar cómo se transforman los campos, observamos que una transformación de Lorentz se reduce a una transformación galileana en el límite $c \to \infty$ . De hecho, bajo una transformación de Lorentz los campos se transforman como : $$ \begin{cases} \textbf E' = \gamma (\textbf E + \textbf v \times \textbf B) - (\gamma-1) (\textbf E \cdot \hat{\textbf{v}}) \hat{\textbf{v}}\\ \textbf B' = \gamma \left(\textbf B - \frac{1}{c^2}\textbf v \times \textbf E \right) - (\gamma-1) (\textbf B \cdot \hat{\textbf{v}}) \hat{\textbf{v}}\\ \end{cases}$$ Tomar el límite $c\to \infty$ para que $\gamma\to 1$ obtenemos las transformaciones galileanas de los campos: $$ \begin{cases} \textbf E' = \textbf E + \textbf v \times \textbf B\\ \textbf B' = \textbf B\\ \end{cases}$$ A continuación, podemos invertir la transformación enviando $\textbf v \to -\textbf v$ : $$ \begin{cases} \textbf E = \textbf E' - \textbf v \times \textbf B'\\ \textbf B = \textbf B'\\ \end{cases}$$ Por el mismo razonamiento, se puede obtener la transformación galileana de las fuentes: $$ \begin{cases} \textbf J = \textbf J' + \rho' \textbf v\\ \rho = \rho'\\ \end{cases}$$ Sabemos que los campos y las fuentes satisfacen las ecuaciones de Maxwell en $S$ : $$ \begin{cases} \nabla \cdot \textbf E = \rho/\epsilon_0\\ \nabla \cdot \textbf B = 0\\ \nabla \times \textbf E = -\frac{\partial \textbf B}{\partial t}\\ \nabla \times \textbf B = \mu_0 \left(\textbf J +\epsilon_0 \frac{\partial \textbf E}{\partial t} \right)\\ \end{cases}$$ Sustitución de los campos y fuentes en $S$ con los de $S'$ obtenemos: $$ \begin{cases} \nabla \cdot \textbf (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B') = \rho'/\epsilon_0\\ \nabla \cdot \textbf B' = 0\\ \nabla \times \textbf (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B') = -\frac{\partial \textbf B'}{\partial t}\\ \nabla \times \textbf B' = \mu_0 \left(\textbf J' + \rho' \textbf v +\epsilon_0 \frac{\partial (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B')}{\partial t} \right)\\ \end{cases}$$ Como último paso, tenemos que sustituir las derivadas en $S$ con derivados en $S'$ . Tenemos: $$\begin{cases} \nabla = \nabla' \\ \frac{\partial }{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t'} - \textbf v \cdot \nabla\end{cases}$$ Sustituyendo y eliminando los primos y utilizando el cálculo vectorial, obtenemos: $$ \begin{cases} \nabla \cdot \textbf E + \textbf v \cdot (\nabla \times \textbf B) = \rho/\epsilon_0\\ \nabla \cdot \textbf B = 0\\ \nabla \times \textbf E = -\frac{\partial \textbf B}{\partial t}\\ \nabla \times \textbf B = \mu_0 \left(\textbf J + \rho \textbf v +\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}( \textbf E - \textbf v \times \textbf B) - \epsilon_0 \textbf v \cdot \nabla (\textbf E - \textbf v \times \textbf B) \right)\\ \end{cases}$$

En el vacío, podemos tomar el rizo de la cuarta ecuación para obtener $$c^2\nabla^2 \textbf B = \frac{\partial^2 \textbf B}{\partial t^2} + (\textbf v \cdot \nabla)^2 \textbf B - 2 \textbf v \cdot \nabla \left(\frac{\partial \textbf B}{\partial t}\right)$$ Sustituyendo una solución de onda de la forma $\textbf B \sim \exp{i(\textbf k \cdot \textbf x -\omega t)}$ Obtenemos una ecuación para $\omega$ que podemos resolver para obtener: $$\omega = -\textbf v \cdot \textbf k \pm c |\textbf k|$$ Por lo tanto, la velocidad de propagación es la velocidad de grupo: $$\frac{\partial \omega}{\partial \textbf k} = -\textbf v \pm c \hat{\textbf{ k}}$$ lo que le da la expectativa de $c\pm v$ con una elección adecuada de $\textbf v$ y $\textbf k$ .