¿Qué diagramas para incluir en Wilson Enfoque?

Question

En la casa de Wilson enfoque renormalization hemos dividido el campo en dos partes; una alta impulso de parte y bajo el impulso de parte. Luego nos integrar el alto impulso términos. Considere el caso de $\phi^3$ teoría y los dos siguientes diagramas:

El discontinua (rojo), las líneas representan la alta momenta de campo y el sólido (negro) los bajos impulsos. Es evidente que el diagrama de $A$ contribuye a la $C_4\phi^4$ en los nuevos efectivos de Lagrange por hacer un cambio en el $C_4$.

Estoy confundido sin embargo sobre el diagrama B. No contribuye a la $C_6\phi^6$ plazo en la eficacia de Lagrange o es un resultado de la $C_6\phi^6$ plazo.

I. e. Cuando la búsqueda de las contribuciones a la nueva constantes de acoplamiento de hacer sólo hemos incluido los diagramas de la forma a, o tenemos que incluir también la forma B?

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Código de colores de la versión de B

Answer 1

Para implementar Wilson RG para un $\phi^3$ teoría, hemos dividido el campo en un lento $\phi$ y un rápido $\hat \phi$ componente. Hay dos tipos de interesante vértices (contribuir a la renormalization de la lentitud en el campo de la acción) : $\phi_1 \hat\phi_1 \hat\phi_1$ $\phi_1 \phi_1 \hat\phi_1$ (el número correspondiente en el espacio-tiempo/índices internos).

El diagrama de la OP corresponde a (promedios en el ayuno sólo campos) $$\langle\phi_1 \hat\phi_{1} \hat\phi_{1}\phi_2 \hat\phi_{2} \hat\phi_{2}\phi_3 \hat\phi_{3} \hat\phi_{3}\phi_4 \hat\phi_{4} \hat\phi_{4} \rangle=\phi_{1}\phi_2\phi_3\phi_4 \langle \hat\phi_{1} \hat\phi_{1}\hat\phi_{2} \hat\phi_{2} \hat\phi_{3} \hat\phi_{3}\hat\phi_{4} \hat\phi_{4} \rangle. $$ Aquí $\langle \hat\phi_{1} \hat\phi_{1}\hat\phi_{2} \hat\phi_{2} \hat\phi_{3} \hat\phi_{3}\hat\phi_{4} \hat\phi_{4} \rangle$ corresponde a la discontinua roja de lazo cerrado de la izquierda en el diagrama de la OP. Por otro lado, el (negro, completo) piernas del diagrama corresponden a la lentitud de los campos $\phi_{1}$, $\phi_2$, $\phi_3$ y $\phi_4$, que no están conectados, ya que no están integrados.

En el impulso de espacio, gracias al hecho de que el entrante momenta son mucho más lento que el flujo de mometum en el bucle, se puede aproximar $\langle \hat\phi_{1} \hat\phi_{1}\hat\phi_{2} \hat\phi_{2} \hat\phi_{3} \hat\phi_{3}\hat\phi_{4} \hat\phi_{4} \rangle\propto \delta(1+2)\delta(1+3)\delta(1+4) $ y por lo tanto reducir el bucle a un solo punto (correspondiente a un $\phi^4$ vértice).

Sobre el diagrama B, utilizando el mismo código de color, vemos que este diagrama se realiza utilizando también el segundo tipo de vértice (que no usamos para el diagrama) : $$\langle\phi_1 \phi_1 \hat\phi_1\phi_2 \hat\phi_2 \hat\phi_2\phi_3 \hat\phi_3 \hat\phi_3\phi_4 \phi_4 \hat\phi_4\rangle=\phi_1 \phi_1\phi_2\phi_3\phi_4 \phi_4\langle \hat\phi_1 \hat\phi_2 \hat\phi_2 \hat\phi_3 \hat\phi_3 \hat\phi_4\rangle.$$

Aquí $\langle \hat\phi_1 \hat\phi_2 \hat\phi_2 \hat\phi_3 \hat\phi_3 \hat\phi_4\rangle$ corresponde a las tres rojo de la línea discontinua de la OP, mientras que los seis lento campo debe corresponder a las seis patas. El OP problema es que no debería de ser un negro (o azul) de la línea en el diagrama B : la lentitud de los campos no están integrados más, por lo que el lento campos de las piernas de los vértices no debe estar conectado.

Por el mismo argumento que antes de $\langle \hat\phi_1 \hat\phi_2 \hat\phi_2 \hat\phi_3 \hat\phi_3 \hat\phi_4\rangle\propto\delta(1+2)\delta(1+3)\delta(1+4)$ y por lo tanto diargam B corresponde a un $\phi^6$ interacción.