Demuestre que cualquier número entero puede expresarse como $S^{k}_{n}$

Question

Considere la siguiente secuencia: $a_1=6$ , $a_2=4$ , $a_3=1$ , $a_4=2$ y $a_n=a_{n-4}$ para $n \geqslant 5$ .

Dejemos que $S^{k}_{n}$ sea la suma de $k + 1$ elementos de $a_n$ de la secuencia anterior. Por ejemplo:

$ S^{0}_{3} = 1 \\ S^{0}_{4} = 2 \\ S^{1}_{3} = 2 + 1 = 3 \\ S^{0}_{2} = 4 \\ S^{1}_{2} = 4 + 1 = 5 \\ … \\ S^{6}_{2} = 4 + 1 + 2 + 6 + 4 + 1 + 2 = 20 \\ … \\ $

Demuestre que cualquier número entero positivo puede expresarse como $S^{k}_{n}$ .

Esta pregunta estaba en un examen de ingreso para la graduación. La escribí de memoria, ya que el examen aún no está disponible en línea, tal vez la redacción no sea 100% precisa pero espero que los ejemplos sean claros.

Answer 1

Como se puede observar, la secuencia $a_n$ es por definición periódica: $6,4,1,2,6,4,1,2,6,4,1,2,...$

La suma de todo un "período" es $6+4+1+2=13$ .

Se puede comprobar fácilmente que cada número entre $1$ y $12$ puede obtenerse como una suma de números CONSECUTIVOS en la secuencia $a_n$ (por ejemplo, $9=1+2+6$ ). Entonces sólo tienes que escribir cualquier número deseado $k$ (elija por ejemplo $k=139$ ) como múltiplo de $13$ más un número entre $0$ y $12$ (en el ejemplo, $139 = 13 \cdot 10 + 9$ ). Entonces sólo basta con elegir el punto de partida y el número de elementos adecuados (en el ejemplo: para obtener $9$ necesitas empezar en algún $1$ en la secuencia, de modo que se obtiene $1+2+6=9$ ; por ejemplo, $S_3^{42} = 1+2+6+4+1+2+6+4+...+1+2+6= 13 \cdot 10 + 9 = 139$ ).

Answer 2

1. En primer lugar, se puede demostrar exhaustivamente que se pueden producir todos los números enteros entre 1 y 12. (Véase más abajo.)
2. A continuación, observa que la suma de cuatro elementos consecutivos cualesquiera de esta secuencia es 13: $S_n^3=13$ .
3. Por lo tanto, se puede construir cualquier otro número entero $N$ de la siguiente manera:
   • Dejemos que $S_n^k = N \pmod{13}$ que ya hemos demostrado que se puede construir.
   • Cada cuatro términos adicionales tomamos, digamos $S_{n}^{k+4}$ añade 13 a nuestro resultado: $$S_{n}^{k+4} = [N\pmod{13}] + 12, \qquad\qquad S_{n}^{k+4+4} = [N\pmod{13}] + 13+13,$$ y así sucesivamente.
   • Así que poner $\ell = \lfloor N/13\rfloor$ encontramos que $S_n^{k+4\ell} = N$ .

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La prueba de que se pueden producir todos los números entre el 1 y el 12:

• 12 = 2 + 6 + 4
• 11 = 6 + 4 + 1
• 10 = 6 + 4
• 9 = 1 + 2 + 6
• 8 = 2 + 6
• 7 = 4 + 1 + 2
• 6 = 6
• 5 = 4 + 1
• 4 = 4
• 3 = 1 + 2
• 2 = 2
• 1 = 1