Si $A$ tiene los autovalores $\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k\}$ entonces $A^n$ tiene sólo $\{\lambda^n_1,\lambda^n_2,...,\lambda^n_k\}$ como valores propios?

Question

Si $A$ $k$ distintos autovalores $\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k\}$ entonces $A^n$ tiene sólo $\{\lambda^n_1,\lambda^n_2,...,\lambda^n_k\}$ como valores propios?

Es bueno saber que si $\lambda$ es un autovalores de a $A$ $\lambda^n$ es un autovalores de a$A^n$$n\in \mathbb{N}$. Pero me pregunto si $A^n$ sólo ha $\lambda^n$ como valores propios, o hay más?

Answer 1

Sí, siempre que se diagonlizable. $$A = P \Lambda P^{-1}$$ A continuación, $$A^n = P \Lambda^n P^{-1}$$ No estoy seguro de si eso es posible en el caso de que no diagonlizable.

editar: es posible, incluso si no diagonlizable $$Ax=\lambda x$$ $$AAx=\lambda Ax$$ $$A^2x=\lambda^2 x$$ y así sucesivamente.