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Determinar la concentración/contenido de la proteína

Fijos enteros positivos $n,k$, determinar el mínimo constante $\lambda = \lambda(n,k)$ para que la siguiente desigualdad se cumple para cualquier $a_1,a_2,...,a_n>0$ (tomando los índices de mod $n$ si es necesario): $$\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{\sqrt{a_i^2+a_{i+1}^2+...+a_{i+k}^2}}\le \lambda$$

Parece que $\lambda=\dfrac{n}{\sqrt{k+1}}??$

He ver $n=3,k=1$,es la Clásica de las desigualdades ver esto :Demostrar la desigualdad de $\sqrt{\frac{2a}{b+a}} + \sqrt{\frac{2b}{c+b}} + \sqrt{\frac{2c}{a+c}} \leq 3$

al $n=4,k=2$ también es Clásica desigualdades $$\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{a}{a+b+c}}\le\dfrac{4}{\sqrt{3}}$$

Pero en general de Cómo resolverlo?Gracias

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Mostafa Ayaz Puntos 1124

Tome $\large b_i={{a_i}\over{\sqrt{a_i^2+...+a^2_{i+k}}}}$. Por lo tanto

$$\large\Sigma_{i=1}^{k+1}{b_i^2}=1$$

y estamos buscando la máxima de esta fracción:

$$\large S=\Sigma_{i=1}^{n}{b_{i\ mod\ n}}$$

Pues determinados $b_i$'s posible que se repiten en la última suma que buscan maximizar

$$\large\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_ib_{i}}$$

aquí $p_i$ indica el número de repetición de $b_i$. Utilizando el método de Lagrange tenemos:

$$\large L=S-\lambda(\Sigma_{i=1}^{k+1}{b_i^2}-1)$$

por parciales de la diferenciación, se obtiene:

$${{\partial{L}\over\partial{b_j}}}=0$$

$${{\partial{L}\over\partial{\lambda}}}=0$$

la última igualdad no lleva ninguna información, mientras que el formulario que la anterior obtenemos:

$$p_j-2\lambda b_j=0 \qquad \forall j$$

que se traduce en:

$$b_j={{p_j}\over{2\lambda}}$$

sustituyendo estas ecuaciones en la restricción nos da:

$$\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}=4\lambda^2$$

o

$$\lambda={{\sqrt{\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}}}\over{2}}$$

esto nos da

$$b_j={{p_j}\over{\sqrt{\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}}}}$$

sustituyendo en $S$ podemos concluir que:

$$max \ S=\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}$$

si $n=(k+1)q+r$ entonces tenemos r número$P_i=q+1$$k+1-r$$p_i=q$, lo que, finalmente, por la sustitución y la simplificación deduce que:

$$max \ S=([{n\over{k+1}}])(n-k-1-(k+1)[{n\over{k+1}}])+n$$ e es mayor que la de cualquier otro obligado.

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