Tome $\large b_i={{a_i}\over{\sqrt{a_i^2+...+a^2_{i+k}}}}$. Por lo tanto
$$\large\Sigma_{i=1}^{k+1}{b_i^2}=1$$
y estamos buscando la máxima de esta fracción:
$$\large S=\Sigma_{i=1}^{n}{b_{i\ mod\ n}}$$
Pues determinados $b_i$'s posible que se repiten en la última suma que buscan maximizar
$$\large\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_ib_{i}}$$
aquí $p_i$ indica el número de repetición de $b_i$. Utilizando el método de Lagrange tenemos:
$$\large L=S-\lambda(\Sigma_{i=1}^{k+1}{b_i^2}-1)$$
por parciales de la diferenciación, se obtiene:
$${{\partial{L}\over\partial{b_j}}}=0$$
$${{\partial{L}\over\partial{\lambda}}}=0$$
la última igualdad no lleva ninguna información, mientras que el formulario que la anterior obtenemos:
$$p_j-2\lambda b_j=0 \qquad \forall j$$
que se traduce en:
$$b_j={{p_j}\over{2\lambda}}$$
sustituyendo estas ecuaciones en la restricción nos da:
$$\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}=4\lambda^2$$
o
$$\lambda={{\sqrt{\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}}}\over{2}}$$
esto nos da
$$b_j={{p_j}\over{\sqrt{\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}}}}$$
sustituyendo en $S$ podemos concluir que:
$$max \ S=\Sigma_{i=1}^{k+1}{p_i^2}$$
si $n=(k+1)q+r$ entonces tenemos r número$P_i=q+1$$k+1-r$$p_i=q$, lo que, finalmente, por la sustitución y la simplificación deduce que:
$$max \ S=([{n\over{k+1}}])(n-k-1-(k+1)[{n\over{k+1}}])+n$$ e es mayor que la de cualquier otro obligado.