El problema de la geometría que implica un número infinito de círculos

Question

¿Cuál es la suma de las áreas de los círculos grises? No he hecho ningún progreso hasta ahora.

Answer 1

Considere la siguiente imagen.

A la izquierda tenemos la imagen original que hemos puesto en el plano complejo, y a la derecha su imagen bajo la transformación de Möbius $f(z) = \frac{z}{2-z}$ . La transformación inversa es $g(z) = \frac{2z}{z+1}$ . En las nuevas coordenadas los círculos verdes tienen radio $\frac{1}{2}$ y el centro en $C_k = \frac{1}{2} + i(k + \frac{1}{2})$ , $k=0,1,2,\dots$ .

Tenemos $\text{Jac}\, g(z) = |g'(z)|^2 = \frac{4}{|z+1|^4}$ . Por lo tanto, el área de los discos en la imagen original es $$\sum_{k=0}^\infty \int_{B_k} \frac{4}{|(x+iy)+1|^4} \, dx \, dy,$$ donde $B_k = \{z : |z - C_k| \le \frac{1}{2}\}$ son los discos de la segunda imagen. Sin embargo, calcular la integral dentro de la suma resultó tedioso, así que opté por otra vía. EDIT: achille hui mostró cómo calcular esta integral en una respuesta a mi pregunta en Integral relacionada con un problema de geometría . De este modo se obtiene una forma más corta de obtener la respuesta.

Los puntos en los que un círculo verde toca la línea roja o la línea azul están en $i(k + \frac{1}{2})$ y $1 + i(k + \frac{1}{2})$ respectivamente. Por lo tanto, en la imagen original están en $$A = g(i(k+\frac{1}{2})) = \frac{2(k+\frac{1}{2})^2}{1 + (k + \frac{1}{2})^2} + i \frac{2(k+\frac{1}{2})}{1 + (k + \frac{1}{2})^2}$$ y $$B = g(1 + i(k + \frac{1}{2})) = \frac{4 + 2(k+\frac{1}{2})^2}{4 + (k + \frac{1}{2})^2} + i \frac{2(k+\frac{1}{2})}{4 + (k+\frac{1}{2})^2}.$$ Ahora para encontrar el centro del círculo verde calculamos la intersección de las líneas $1 + t(A-1)$ y $\frac{3}{2} + s(B - \frac{3}{2})$ . La parte real y la imaginaria nos dan dos ecuaciones lineales para $s$ y $t$ y terminamos con la solución $$s = \frac{4k^2 + 4k + 17}{4k^2 + 4k + 9}, \quad t = \frac{4k^2 + 4k + 5}{4k^2 + 4k + 9}.$$ Por lo tanto, el centro está en $$1 + t(A-1) = \frac{8k^2 + 8k + 6}{4k^2 + 4k + 9} + i \frac{8k + 4}{4k^2 + 4k + 9}.$$ El radio es entonces $$|A - 1 - t(A-1)| = |A-1| |t-1| = \frac{4}{4k^2 + 4k + 9}.$$ Por lo tanto, la respuesta al problema es $$\sum_{k=0}^\infty \pi \frac{16}{(4k^2 + 4k + 9)^2},$$ para la que Wolfram Alpha da la forma cerrada $$\frac{1}{16} \pi^2 (\sqrt{2} \tanh(\sqrt{2}\pi) - 2 \pi \text{sech}^2(\sqrt{2}\pi)) \approx 0.8699725\dots$$

Answer 2

Este es un enfoque alternativo para derivar el área de los círculos utilizando Teorema de los cuatro círculos de Descartes .

WOLOG, asume $R = 1$ . Llamemos

• el círculo exterior (con radio $r_a = 1$ ) como $C_a$ .
• el círculo verde interior (con radio $r_b = \frac12$ ) como $C_b$ .
• el $1^{st}$ círculo gris (el más grande en la parte inferior) como $C_0$ .
• el $2^{nd}$ círculo gris (el de arriba) $C_b$ y $C_0$ ) como $C_1$ .
• en general, para cualquier $k > 0$ llamaremos al círculo gris de arriba $C_b$ y $C_{k-1}$ como $C_k$ .
• Podemos reflejar la figura en cuestión verticalmente. Para $k < 0$ dejaremos que $C_k$ sea la imagen especular del círculo $C_{-(1+k)}$ .

La clave es que cualquier $k\in\mathbb{Z}$ Los cuatro círculos $C_a, C_b, C_k$ y $C_{k\pm 1}$ se están besando. Deja que $r_k$ sea el radio de $C_k$ . Podemos aplicar el teorema de los cuatro círculos de Descartes para obtener:

$$\left(\frac{1}{r_{k\pm 1}} + \frac{1}{r_k} + \frac{1}{r_b} - \frac{1}{r_a} \right)^2 = 2 \left(\frac{1}{r_{k\pm 1}^2} + \frac{1}{r_k^2} + \frac{1}{r_b^2} + \frac{1}{r_a^2}\right)\tag{*1}$$ Desde $r_a = 1$ y $r_b = \frac12$ Esto implica $\displaystyle\;\frac{1}{r_{k \pm 1}}\;$ son las dos raíces de la ecuación cuadrática $$\left(\rho + \frac{1}{r_k} + 2 - 1 \right)^2 = 2 \left(\rho^2 + \frac{1}{r_k^2} + 2^2 + 1^2 \right) $$ y por lo tanto $$\frac{1}{r_{k+1}} + \frac{1}{r_{k-1}} = 2\left(\frac{1}{r_k} + 1\right) \quad\iff\quad \frac{1}{r_{k+1}} + \frac{1}{r_{k-1}} - \frac{2}{r_k} = 2$$

La RHS es una relación de recurrencia lineal no homogénea en $\displaystyle\;\frac{1}{r_k}\;$ con término constante. Como el polinomio característico $(\lambda-1)^2$ tiene una raíz doble en $1$ sabemos que su solución debe tener la forma $\displaystyle\;\frac{1}{r_k} = k^2 + \lambda k + \mu\;$ . Por simetría,

$$r_k = r_{-(1+k)}\quad\implies\quad \lambda = 1 \quad\implies\quad \frac{1}{r_k} = k(k+1) + \mu$$

Para arreglar $\mu$ , solicitarlo $(*1)$ al caso $C_a, C_b, C_0$ y $C_{-1}$ obtenemos

$$\left(2\mu + 1\right)^2 = 2\left(2\mu^2 + 5\right) \quad\implies\quad \mu = \frac{9}{4} $$ A partir de esto, obtenemos $$r_k = \frac{4}{4k^2 + 4k + 9} \quad\implies\quad \text{Area} = \sum_{k=0}^\infty \frac{16\pi}{(4k^2+4k+9)^2}$$

reproduciendo lo que hay en la respuesta de J.J.

Actualización

Para evaluar la suma, utilizaremos la siguiente expansión del producto infinito de $\cosh(\pi x)$ ,

$$\cosh\pi x = \prod_{k=0}^\infty \left( 1 + \frac{x^2}{(k+\frac12)^2}\right) $$

Tomando el logaritmo, diferenciar con respecto a $x$ y dividir por $2x$ obtenemos

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+\frac12)^2 + x^2} = \frac{\pi}{2x} \tanh\pi x$$

Diferenciar con respecto a $x$ y dividir por $-2x$ una vez más, obtenemos

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{((k+\frac12)^2 + x^2)^2} = \frac{\pi}{4x^3}\tanh(\pi x) - \frac{\pi^2}{4x^2\cosh^2(\pi x)} $$ Con esto, encontramos $$\text{Area} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\pi}{((k+\frac12)^2 + 2)^2} = \frac{\pi^2}{16}\left[\sqrt{2}\tanh(\pi\sqrt{2}) - \frac{2\pi}{\cosh^2(\pi\sqrt{2})}\right] $$ Una vez más, esto coincide con el resultado de J.J.