Dar un ejemplo de que $(x_ny_n)$ converge sino $(x_n)$ $(y_n)$ diverge.

Question

Dar un ejemplo de secuencias de $(x_n)$ $(y_n)$ $\mathbb{R}$ tal que $(x_ny_n)$ converge sino $(x_n)$ $(y_n)$ diverge.

Mi respuesta: Vamos a $x_n=(-1)^n$$y_n=(-1)^n$. A continuación, $x_ny_n=(-1)^n(-1)^n=(-1)^{2n}$. Por eso, $(-1)^{2n}$ convergencia a $1$ y $(x_n)$, $(y_n)$ diverge.

Se puede comprobar que mi respuesta?

Answer 1

Podemos tomar $$a_n=(2+(-1)^n) $$ $$b_n=(2-(-1)^n) $$ $$a_nb_n=3$$

o $$a_n=\sin (n) \;\;,\; \;b_n=\frac {1}{\sin (n)} $$

Answer 2

Su respuesta es correcta. $$ a_n = sin(n+1)$$ and $$b_n = csc (n+1)$$ where $ {a_n}{b_n}$ converges to $1$ while both $ a_n$ and $ b_n$ divergen.