Producto de números de 2 cifras

Question

31 personas bailan en formación de círculo. La edad de cada persona es un número de 2 dígitos, y para cada dígito sabemos que el dígito de las unidades es igual al dígito de las decenas de la persona que está en la posición de las agujas del reloj, mientras que el dígito de las decenas es igual al dígito de las unidades de la persona que está en la posición contraria. Dos dígitos vecinos cualesquiera son diferentes. Comprueba si el producto de las 31 edades puede ser un cuadrado perfecto.

No sé cómo empezar :(

Lo único que puedo decir es que los dígitos aparecen en pares: Si tenemos, por ejemplo, 31 dígitos, $d_1, d_2, \ldots, d_{31}$ entonces las edades son: $$ 10 \cdot d_1+d_2, 10 \cdot d_2+d_3, \ldots, 10 \cdot d_{31}+d_1 $$ y obviamente el producto es $(10 \cdot d_1+d_2) \cdot (10 \cdot d_2+d_3) \cdots (10 \cdot d_{31}+d_1)$ . Pero no sé cómo continuar.

Answer 1

Es posible. Para reafirmar el objetivo, queremos un ciclo de dígitos $d_1 \to d_2 \to d_3 \to \ldots \to d_{31} \to d_1$ , de tal manera que $$ (d_1 d_2) (d_2d_3) (d_3d_4) \ldots (d_{31} d_1) $$ es un cuadrado perfecto. Podemos construirlo combinando pequeños ciclos. Primero,

$$2 \to 7 \to 2$$

es un buen movimiento, ya que da $27 \cdot 72$ -- dividiendo los cuadrados, tenemos $3 \cdot 2 = 6$ . También podemos hacer la mudanza $$ 2 \to 5 \to 2 $$ que es $25 \cdot 52$ o simplemente $13$ restante. Y también tenemos $$ 2 \to 6 \to 9 \to 2 $$ que es $26 \cdot 69 \cdot 92$ o $2 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 23 \cdot 4$ o simplemente $6 \cdot 13$ . Así que todos estos juntos dan un ciclo cuadrado perfecto de longitud total $2 + 2 + 3 = 7$ : $$ \underbrace{2 \to 7 \to 2 \to 5 \to 2 \to 6 \to 9 \to 2}_{\text{perfect square cycle}}. \tag{a} $$

Pero eso no es suficiente, necesitamos otra forma de obtener un cuadrado perfecto, porque los ciclos de longitud $7$ no se puede sumar para obtener la longitud total $31$ . Así que aquí hay otro ciclo: $$ \underbrace{2 \to 4 \to 2 \to 1 \to 2}_{\text{perfect square cycle}}. \tag{b} $$ Para comprobarlo, tenemos $24 \cdot 42 \cdot 21 \cdot 12$ dividiendo los cuadrados y factorizando $6 \cdot (6 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7) \cdot 3$ para que todo acabe cuadrado. Esta vez, el ciclo tiene una longitud $4$ . (Esto fue un poco más complicado de lo necesario. Podríamos haber hecho simplemente $2 \to 5 \to 2 \to 5 \to 2$ o $2 \to d \to 2 \to d \to 2$ para cualquier $d$ ).

Entonces hemos terminado: partiendo de $2$ y recorriendo el ciclo (a) una y el ciclo (b) seis veces, la longitud total es $$ 7 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 31. $$

Algunas intuiciones (si se conoce la teoría de los grafos)

Toda la longitud $31$ puede considerarse como un camino cíclico en el grafo completo con $9$ vértices, donde cada vértice es una cifra diferente. El camino de longitud $31$ se descompone en un montón de ciclos de pequeña longitud ( $\le 9$ ). El procedimiento para descomponer en ciclos pequeños es el siguiente: para cualquier ciclo de longitud superior a $9$ , debe repetir algún vértice dos veces; por lo tanto, se divide en dos ciclos a partir del vértice repetido.

Así que el objetivo es básicamente encontrar un grupo de pequeños ciclos cuya longitud total sea $31$ y que se multiplican a un cuadrado perfecto. Por lo tanto, mi enfoque fue empezar a buscar ciclos pequeños y a qué se multiplican, y luego tratar de conseguir que se cancelen.

Answer 2

D'oh

Esto es más fácil.

Cualquier cadena $ab,ba,ab,ba$ de longitud $4$ tendrá un producto cuadrado perfecto.

Cualquier cadena de $ab, bc, cd, ..... , za$ repetido un número par de veces tendrá un producto cuadrado perfecto.

Y hay cuadrados perfectos de dos dígitos.

El único problema es la longitud uniforme de las cadenas $ab,ba,ab,ba$ terminan con el mismo dígito con el que empezaron, y el número par de $ab, bc, cd, ..... , za$ las cadenas deben seguirse inmediatamente.

Así que necesitamos $31 = 4*k + 2j + m$

$31 = 4*7 + 3$

$= 4*4 + 3*4 + 3$

$= (4+1+4+1+ 4+1 + 4)+ 3*4$

Así que la gente envejeció:

$ab,ba,ab,ba$

$ac$

$cd,dc,cd,dc$

$ce$

$ef,fe,ef,fe$

$eg$

$gh,hg,gh,hg$

$hi,jk,ka$

$hi,jk,ka$

$hi,jk,ka$

$hi,jk, ka$

Dónde $ac,ce,eg$ son cuadrados perfectos.

Esto lo hará.

Dejemos que $ac = 16; ce=64; eg= 49$ y mientras podamos encontrar a seis personas de noventa años sin problemas (bueno, en realidad sólo 4) lo tenemos.

Entonces cuatro personas envejecen $6d,d6,6d,d6$ .

Entonces una persona de edad $64$ .

A continuación, cuatro personas de edad $4f,f4,4f,f4$

Entonces una persona de edad $49$ .

Entonces tenemos cuatro personas de edad $9g,g9,9g,g9$ . (Dos nonagenarios es factible. Bien por ellos).

Son 19 personas.

El resto $12$ son $4$ grupos de personas de edad $9h,hi,i1$ (Vale, tenemos seis nonagenarios. Un poco improbable, pero... diablos, mor power to them).

Así que el producto de las edades son $1b^2*b1^2*16*6d^2*d6^2*64*4f^2*f4^2*49*9g^2*g9^2*9h^4*hi^4*i1^4$ es un cuadrado perfecto.

\===== respuesta antigua =====

Dejemos que $d_1, d_3,..... d_{29} = a$ .

Dejemos que $d_2, d_4, .... d_{30} = b$ .

Dejemos que $d_{31} = c$

Edades $d_1d_2,d_3d_4,.....d_{29}d_{30} = 10a + b$

Edades $d_2d_3, d_4d_5,....d_{28}d_{29} = 10b + a$

Edad $d_{30}d_{31} = 10b + c$

Edad $d_{31}d_1 = 10c + a$ .

Producto de sus edades ard $(10a+b)^{15}(10b+a)^{14} (10b + c)(10c+a)$

Necesitamos encontrar tres dígitos donde $(10a + b)(10b+c)(10c + a)$ es un cuadrado perfecto.

No debería ser difícil.