Cómo resolver $(y)^{y'}=(y')^{y+c},c \in \mathbb{R}$

Question

En el caso de que $ c=0 $ esta oda será $(y)^{y'}=(y')^{y}$ Supongamos que $y$ y $y'$ son funciones estrictamente positivas así que:

$$(y)^{y'}=(y')^{y} \iff e^{y' \log(y)}= e^{y \log(y')} \iff {y' \log(y)}= {y \log(y')} \iff \frac{y'}{y}=\frac{\log(y')}{\log(y)}$$

No tengo ni idea de qué hacer ahora. ¿Alguna ayuda, por favor?

Answer 1

Dejemos que $z=\ln(y)$ tenemos que $zz'=z+\ln(z')$ .

Si $z'=1$ entonces $z(x)=x+k$ donde $k\in\Bbb R$ es decir $y(x)=e^{x+k}$ .

Si $z'\neq1$ entonces $$z=\frac{\ln(z')}{z'-1}=f(z')$$ donde $$f:\quad t\mapsto\frac{\ln(t)}{t-1}.$$ $f:\Bbb R^*_+\to\Bbb R^*_+$ es una función biyectiva, por lo que $f^{-1}$ está bien definida. Por lo tanto, $z'=f^{-1}(z)$ . Dejemos que $z(0)=a$ por el teorema de Cauchy-Lipschitz, la ecuación tiene una única solución máxima, y tenemos \begin{align} \frac{z'}{f^{-1}(z)}=1&\implies(\int_a^z\frac{dt}{f^{-1}(t)})'=1\\ &\implies\int_a^z\frac{dt}{f^{-1}(t)}=x\\ &\implies\int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(z)}\frac{f'(s)}{s}ds=x\tag{1}\\ &\implies I\circ f^{-1}(z)=x+I\circ f^{-1}(a)\tag{2}\\ &\implies z(x)=f\circ I^{-1}(x+I\circ f^{-1}(a))\tag{3}\\ &\implies y(x)=\exp\circ f\circ I^{-1}(x+k)\tag{4} \end{align} $(1)$ : $t=f(s)$ ;

$(2)$ : $I(x)=-\int_{x}^{+\infty}\frac{f'(s)}{s}ds$ ;

$(3)$ : $I:\Bbb R^*_+\to\Bbb R^*_+$ es biyectiva;

$(4)$ : $k=I\circ f^{-1}(a)$ .

El dominio (máximo) de $y$ es por lo tanto $(-k,+\infty)$ .

(Antes de asumir $y>0$ , tenga en cuenta que $y=0$ también es una solución trivial. En general, para $c\in\Bbb R$ , $y=-c$ es la única solución constante).

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La función $I$ tiene una expresión de forma cerrada utilizando $\operatorname {Li}_{2}$ : $$I(x)=\frac1x+f(x)-\left(\operatorname {Li}_{2}(-x)+\frac12\ln^2 x+\frac{\pi^2}6\right).$$