La longitud del bobinado en el cilindro.

Question

Problema

Un ingeniero eléctrico necesita una nueva bobina y decide fabricar una desde cero. No ha decidido el radio ni la longitud del cilindro en el que se enrollará la bobina. Define una función $f(r,l)$ donde $r$ =(radio), $l$ =(altura del cilindro). Tiene que haber exactamente 10 ciclos completos de bobinado en total independientemente de su altura.

Intento de solución

Podemos definir nuestra curva en forma de ecuación paramétrica:

$$ r(t)=\begin{bmatrix} r\cos(\frac{20\pi t}{l}) \\ r\sin(\frac{20}{l}) \\ t \end{bmatrix} $$

donde $l$ y $r$ son constantes, y $x,y,z$ son vectores unitarios.

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$

Parcela de $r(t)$ cuando $l=10,r=3$ & trazado del cilindro de referencia

Ahora queremos definir una función para la longitud cuando se conoce la ecuación paramétrica. La longitud se puede definir con la integral

$$ f(r,l)=\int_{a}^{b} || r'(t) || dt $$

$$r'(t)=\begin{bmatrix}x'(t)= \frac{d}{dt}r\cos(\frac{20\pi t}{l})=-\frac{20\pi\sin(\frac{20\pi t}{l})}{l}\\ y'(t)=\frac{d}{dt}r\sin(\frac{20 \pi t}{l})=\frac{20\pi\cos(\frac{20\pi t}{l})}{l} \\ z'(t)=\frac{d}{dt} t=1 \end{bmatrix}$$

$$ f(r,l)=\int_{a}^{b} \sqrt{(x(t))^2+(y(t))^2+(z(t))^2}dt $$

$$ f(r,l)=\int_{a}^{b} \sqrt{(-\frac{20\pi\sin(\frac{20\pi t}{l})}{l})^2+(\frac{20\pi\cos(\frac{20\pi t}{l})}{l})^2+(1)^2}dt $$

Ahora no estoy muy seguro de los límites de integración, ya que mi comprensión de lo que está pasando aquí no es tan buena, pero supongo que debemos integrar de $0$ a $l$

$$ f(r,l)=\int_{0}^{l} \sqrt{(-\frac{20\pi\sin(\frac{20\pi t}{l})}{l})^2+(\frac{20\pi\cos(\frac{20\pi t}{l})}{l})^2+(1)^2}dt $$

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Como sólo había que definir la función y no calcular nada con ella no he intentado calcular ninguna longitud ya que la integral parece algo que no quiero integrar a mano.

De todos modos sería muy apreciado si alguien pudiera señalar los fallos (estoy bastante seguro de que hay fallos en esto) o si esto es correcto me gustaría todavía saber la razón por la que la integración de la longitud de la tangente dará lugar a la longitud de la curva?

Answer 1

Si imaginas que desenrollas el cilindro, el cable es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. La base da diez veces la vuelta al cilindro y la altura es la altura de la bobina. Puedes encontrar la longitud del cable por Pitágoras. No es necesaria la integración.

Answer 2

Estás trabajando un poco más de lo necesario. Pero, estás muy cerca de la meta.

$f(l,r)=$$ \int_{0}^{l} \sqrt{(-\frac{20\pi r\sin(\frac{20\pi t}})}{l})^2+(\frac{20\pi r\cos(\frac{20\pi t})}{l})^2+(1)^2}dt$

Utiliza la identidad trigonométrica $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$

$\int_{0}^{l} \sqrt{(\frac{20\pi r}{l})^2+(1)^2}dt$

Obsérvese que el integrando no depende de $t.$

$\frac {\sqrt{(20\pi r)^2+l^2}}{l}\int_{0}^{l} dt\\ \sqrt{(20\pi r)^2+l^2}$

Answer 3

Desde $$r(t)=\begin{bmatrix} r\cos(\frac{20\pi t}{l}) \\ r\sin(\frac{20\pi t}{l}) \\ t \end{bmatrix}$$ Obtenemos $$ || r'(t) ||= \sqrt {1+r^2(\frac {20\pi }{l}})^2 $$ Por lo tanto, la longitud de la bobina es $$ \int_{0}^{l} || r'(t) || dt = \sqrt {\;400r^2\pi^2+l^2}\;$$