Electromagnetismo problema: ¿cuál es el campo magnético?

Question

Considere el siguiente problema:

Considere la posibilidad de un plano con el uniforme de la densidad de carga $\sigma$. Por encima de dicho plano, no es un sistema de conducción de cables hechos de una forma de U circuito en el que una lineal del conductor de longitud $d$ puede deslice con velocidad constante $v$. El sistema como un todo tiene una forma rectangular y es paralela al plano. (Ver la foto). Calcular la integral de línea de la magnética de campo $\bf B$ a lo largo del perímetro $L(t)$ de dicho rectángulo como una función del tiempo.

Mi profesor resuelve este problema utilizando Maxwell cuarta ecuación en forma integral, asumiendo que la densidad de corriente $\bf {J} $ está en todas partes nulo, y que el campo eléctrico $\bf E$ es la generada por un uniformemente cargada plano, es decir, perpendicular a la del plano y de la norma $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$; logrando $$\oint_{L(t)} {\bf B}\cdot dl=\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_{S(t)} {\bf E}\cdot dS=\mu_0\epsilon_0Edv=0.5\mu_0\sigma dv$$

Creo que hay algunas cosas mal tanto con esta solución:

1. No debe haber ningún campo magnético en todo! Un uniformemente cargada avión sólo produce un campo electrostático. (Sé que podría haber un campo magnético generado por la corriente en el interior de los cables, pero no se podía asumir que $\bf J$ es nulo en todas partes como mi profesor hizo!)
2. Maxwell cuarta ecuación no se sostiene en esa forma si los dominios de la integración se puede variar con el tiempo. De hecho, recurriendo a la diferencial de las formas, nos encontramos con que la conexión de los ${\bf J}=\vec 0$$\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}=0$, como mi profesor de suponer, los rendimientos de $rot{\bf B}=0$, y por lo tanto la integral de línea del campo magnético a través de cualquier curva cerrada, en cualquier istant, debe ser igual a cero por Stokes teorema!

Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente.

Son los de mi profesor de la asunción ($\bf J$ $=\vec 0$, $\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}=\vec 0$) correcto, o hacer ambas cosas a $\bf J$ $\bf E$ necesita ser modificado, así como para dar cuenta de los cargos que se presente en el circuito? Hay una corriente en el circuito?

Answer 1

Su visión dicho en 2. es correcto! En la forma integral de la cuarta ecuación de Maxwell con la variable de tiempo de integración de la superficie, el tiempo de la diferenciación se mantiene dentro de la integral: $$\oint_{L(t)} {\bf B}\cdot dl=\mu_0\epsilon_0\int_{S(t)} {\frac{\partial}{\partial t}\bf E}\cdot dS \tag{1}$$ A continuación, a partir de la suposición de $\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}= 0$ tanto en la mano izquierda y la mano derecha debe ser igual a cero en este caso. Sin embargo, Anton Fetisov ha demostrado en su respuesta. a continuación) que, debido a la inducida por los cargos en el movimiento de alambre $\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}\neq 0$. Por lo tanto, su profesor, evidentemente, ha cometido errores, pero fortuitamente obtuvo la respuesta correcta.

Addendum la siguiente respuesta de Anton Fetisov:
En su correcto y profundo análisis del problema, se considera que los efectos de tamaño finito de los cables metálicos y el eléctrico las cargas inducidas en la superficie por el campo eléctrico homogéneo de la carga en el plano que son necesarias para producir un cero campo eléctrico total en los cables. Estos inducida por los cargos y la asociada a la deformación del campo eléctrico alrededor del alambre se mueve con una velocidad de $v$ $x$- dirección.

Por lo tanto, desde este punto de vista, existen corrientes y el tiempo de variación de los campos eléctricos que es inconsistente con los dos supuestos básicos realizados en el problema, es decir, $\bf J = 0$$\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}= 0$. El segundo error es la solución con la equivocada forma integral de la 4ª ecuación de Maxwell para la variable de tiempo de integración de superficie y de contorno $$\oint_{L(t)} {\bf B}\cdot dl=\mu_0\epsilon_0\frac{d}{d t}\int_{S(t)} {\bf E}\cdot dS \tag{2}$$ La forma correcta es la ecuación (1). En el supuesto de $\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}= 0$ se deduce que el lado derecho de la ecuación (1) debe ser cero, como he dicho antes. Esta es, sin embargo, no es correcto en este caso en particular debido al hecho de que la inducida por los cargos en el cable de causar un tiempo variable de campo.

En su análisis detallado, Anton Fetisov ha demostrado, que el lado derecho de la correcta ecuación (1) no es cero y que, sorprendentemente, es igual al lado derecho de la incorrecta la ecuación (2). Por lo tanto la solución del problema encontrado por el profesor con la incorrecta la ecuación (2) es por casualidad correcta. Por lo tanto, he reducido mi original de respuesta corta (primer párrafo) de la todavía válida hecho, ya se encuentra por Nicol, que la forma de la ecuación de Maxwell fue generalmente no es correcto para el tiempo dependen de la integración de superficie y de contorno.

Agregó simple derivación: Para aquellos que no son matemáticas virtuosos, me gustaría mostrar, sobre la base de Anton Fetisov del razonamiento, cómo el lado derecho de la correcta 4 de Maxwell, ecuación (1) puede ser evaluado para el problema en una forma simple dando el resultado citado en la pregunta de Nicol.

El punto esencial es que los cargos en el alambre que se electrostática inducida por el campo eléctrico homogéneo $E_0=\sigma/\epsilon_0$ de la hoja de cargo $\sigma$. Sólo la vertical y-componente ha de ser considerado para la integral. Estos cargos son fuente adicional de un campo eléctrico $\epsilon (x)$ en y cerca de todo el alambre que exactamente cancela $E_0$ dentro del alambre, y la reduce cerca del alambre en una escala de longitud del diámetro del alambre $2a$. Este cable adicional de campo $\epsilon (x)$ tiene más valor negativo en un (plana) mínimo $\epsilon _{min}= -E_0$ dentro del alambre, en particular sobre su eje. La exacta forma funcional es irrelevante aquí, tan larga como su mínimo en $x=0$ $\epsilon (0)=-E_0$ e es cero un par de diámetros de alambre de distancia horizontal desde el eje de alambre. El x - y t-dependencia de la vertical del campo en el cable plano del movimiento del alambre puede ser escrito como $\epsilon (x,t)=\epsilon (x-vt)$, donde el eje del alambre (y de campo mínimo) se encuentra en $x_1=vt$. El total de la vertical del campo eléctrico en el alambre plano está dado por $$E(x,t)=E_0 + \epsilon (x) + \epsilon (x-vt)$$ (The second term on the RHS is the time-independent field of the left transverse wire.) Thus with $$\frac{\partial{E}}{\partial t}=\frac{\partial{\epsilon (x-vt)}}{\partial t}=\frac{\partial{\epsilon(x-vt)}}{\partial x}(-v)$$ the surface integral of the RHS of equation (1) reduces to $$\int_{S(t)} {\frac{\partial}{\partial t}\bf E}\cdot dS= -vd\int_{x=0}^{x_1=vt} {\frac{\partial \epsilon(x-vt)}{\partial x}} dx =-vd[\epsilon(x-vt)]_{x=0}^{x_1=vt}= vd[\epsilon (-vt)-\epsilon (0)]=vdE_0$$ where it has been assumed that $\epsilon (0)=-E_0$ and $x_1=vt>>2a$ so that $\epsilon (-vt)=0$. This shows that the RHS of equation (1) is indeed $$\frac{\mu_0 v \sigma d}{2}$$ la casualidad obtenidos solución citado por Nicol.

Answer 2

Sí, en efecto, hay una corriente en el circuito, sin embargo, la solución propuesta sigue siendo válida, aunque se requiere de razonamiento para justificar. Yo reclamo que los supuestos $\mathbf J =0$, $\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0$ son válidos casi en todas partes. En concreto, se fracasa en la realización de contorno y en una pequeña vecindad de ella, que tiene el tamaño del orden del diámetro del alambre. Desde que asumimos cables infinitamente delgada, macroscópicamente las hipótesis son válidas, pero es vital recordar los detalles microscópicos.

Voy a utilizar las ecuaciones de Maxwell en Gaussiano unidades, para evitar molestos $\mu_0$'s y $\varepsilon_0$'s. Para la referencia se ven de la siguiente manera: $$ \begin{eqnarray} \nabla \cdot \mathbf E & = & 4\pi \rho \\ \nabla \cdot \mathbf B & = & 0 \\ \nabla \times \mathbf E & = & -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf B & = & \frac{4\pi}{c}\mathbf J + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \end{eqnarray} $$

Esto implica (suponiendo que $S(t)$ es la región del plano delimitada por $L(t)$) $$ \begin{eqnarray} \oint_{L(t)} \mathbf B \cdot \mathrm d \mathbf l & = & \iint_{S(t)} (\nabla \times \mathbf B; \mathrm d \mathbf S) \\ & =& \frac{4\pi}{c} \iint_{S(t)} (\mathbf J; \mathrm d \mathbf S) + \frac{1}{c} \iint_{S(t)} \left(\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}; \mathrm d \mathbf S \right) \end{eqnarray} $$

Sin embargo, todos los flujos de corriente en el plano de la $S(t)$, por lo que su flujo a través de la $S(t)$$0$.

El término con las derivadas parciales es más difícil estudiar. La primera nota que macroscópicamente no hay cargas libres, en el sentido de que la macroscópicas de la distribución de carga es constante en el tiempo. También el sistema de cuasi-estacionaria ya que la velocidad de la $v \ll c$ --- esto nos permite excluir cualquier ondas EM de el problema y trabajar sólo con las cargas y corrientes. Esto implica que macroscópicamente $\mathbf E$ es estacionaria, pero si hemos de asumir globalmente $\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0$, entonces las ecuaciones de Maxwell implican que $\mathbf B$ $\mathbf J$ también son estacionarios y siempre $0$. Para ver que esto no es cierto, tenemos que considerar lo que sucede en el propio alambre.

Asumimos que el alambre para ser un conductor ideal con resistencia cero. La ley de Ohm dice que en el alambre $\mathbf E = \rho \mathbf J$ si $\rho = 0$ luego finito actual implica $\mathbf E = 0$ dentro de el alambre (EDIT: ya que estamos sólo interesados en la componente vertical de $\mathbf E$ y no puede haber vertical actual, $E_z = 0$ en el alambre, incluso si $\rho \ne 0$). Así vemos que, incluso antes de que el movimiento se inicia en el campo no es igual a $\mathbf E_0$ en todas partes --- es $0$ dentro del alambre y tiene algún intermediario valor en sus inmediaciones. Esto también muestra que, a nivel mundial $\mathbf E$ no es estacionaria --- el movimiento del alambre hace que el movimiento de los ceros de $\mathbf E$ y de la protección de los cargos en el alambre. Esto, a su vez, hace que el campo magnético y la corriente inducida. Si tratamos de calcular la derivada, entonces podemos ver que cerca del alambre $E$ cambios de $E_0$ $0$más de un infinitamente pequeño intervalo de tiempo, por lo que el derivado haya algunos delta-función-como, proporcionar algunos finito (en general) valor distinto de cero para las integrales.

Para calcular la integral de superficie de $\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}$, tenemos que convertir a una más manejable forma, algo así como un derivado de una función continua. La fórmula general para un total derivado de un tiempo-dependiente de la superficie de la integral es $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_{S(t)} (\mathbf F ; \mathrm d \mathbf S) = \iint_{S(t)} \left( \frac{\partial \mathbf F}{\partial t}; \mathrm d \mathbf S \right ) + \frac{1}{\mathrm d t}\iint_{\delta S(t)} (\mathbf F; \mathrm d \mathbf S) $$

Aquí $\delta S(t)$ es la variación infinitesimal de la superficie de la $S(t)$ y supongo que $S(t)$ varía mediante la adición de área, al igual que en el problema (es decir, sin movimiento del interior). Esto es sólo el producto habitual de la regla para el cálculo de derivadas. En nuestro problema $\mathbf F = \mathbf E$ y la superficie se elige de modo que su límite pasa en el interior de la espira de alambre. Esto significa que $\mathbf E =0 $ cerca de la frontera de $S(t)$ y por lo tanto la integral sobre la variación de área es $0$, por lo que el segundo término se desvanece y nos han $$ \iint_{S(t)} \left( \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}; \mathrm d \mathbf S \right ) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_{S(t)} (\mathbf E ; \mathrm d \mathbf S) $$

Desde $\mathbf E$ está en todas partes delimitadas y en casi todas partes igual a $\mathbf E_0$, la respuesta a tu problema sigue.

Tenga en cuenta que la circulación de $\mathbf B$ no dependen de cada contorno que pasa por el cable, pero va a cambiar si nos movemos en el contorno exterior del cable. También tenga en cuenta que si consideramos un infinitamente pequeño bucle en torno a una sección de la guía, luego de la circulación de la $\mathbf B$ será finito distinto de cero si hay un no-cero de la corriente que pasa a través de la sección. Esto demuestra que cuando el problema le pide a un integrante de todo el perímetro, debemos considerar exactamente el perímetro, incluso una pequeña variación daría una respuesta incorrecta.

Answer 3

A partir de la 2da ecuación (001b) de las ecuaciones de Maxwell \begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{001a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{001b}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}& = 0 \tag{001d} \end{align} tenemos

\begin{equation} \int\limits_{S(t)}\left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B}\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}\:=\:\mu_{0}\!\!\int\limits_{S(t)} \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}+\frac{1}{c^{2}}\int\limits_{S(t)} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S} \tag{02} \end{equation} y ya que con o sin corriente en el alambre tenemos $\:\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}\equiv 0\:$ a todas partes en la superficie de la $\:S(t)\:$

\begin{equation} \oint\limits_{\partial S(t)}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d \boldsymbol{\ell}\:=\:\mu_{0}\epsilon_{0}\int\limits_{S(t)} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S} \tag{03} \end{equation} Ahora, con el fin de encontrar la integral en el lado derecho de la ecuación anterior yo uso el de Helmholtz de transporte teorema⁽¹⁾ según lo sugerido por @Michael Seifert en uno de sus comentarios. Una primera forma de este teorema es que el flujo de un campo vectorial $\:\mathbf{F}\left(\mathbf{x},t\right)\:$ a través de una superficie $\:S(t)\:$ en movimiento y/o la deformación⁽²⁾

\begin{equation} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{S(t)}\mathbf{F}\left(\mathbf{x},t\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}=\int\limits_{S(t)} \left[\dfrac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} + \left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\mathbf{F} + \left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}\right)\mathbf{F} - \left(\mathbf{F}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\right)\boldsymbol{\upsilon}\right] \boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S} \tag{04} \end{equation}

aquí expresados para nuestro propósito como \begin{equation} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{S(t)}\mathbf{F}\left(\mathbf{x},t\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}\:=\:\int\limits_{S(t)} \left[\dfrac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} + \left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{F}\right)\boldsymbol{\upsilon} - \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times} \mathbf{F}\right)\right]\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S} \tag{05} \end{equation} Para $\:\mathbf{F}\left(\mathbf{x},t\right)\equiv \mathbf{E}\left(\mathbf{x},t\right)\:$ \begin{equation} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{S(t)}\mathbf{E}\left(\mathbf{x},t\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}\:=\:\int\limits_{S(t)} \left[\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\upsilon} - \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times} \mathbf{E}\right)\right]\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S} \tag{06} \end{equation} Así \begin{equation} \int\limits_{S(t)} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S} =\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{S(t)}\mathbf{E}\left(\mathbf{x},t\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}-\int\limits_{S(t)}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}+\int\limits_{S(t)} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S} \tag{07} \end{equation} Pero en primer lugar \begin{equation} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{S(t)}\mathbf{E}\left(\mathbf{x},t\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\dfrac{1}{\Delta t}\left[\int\limits_{S(t+\Delta t)}\mathbf{E}\left(\mathbf{x},t\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}-\int\limits_{S(t)}\mathbf{E}\left(\mathbf{x},t\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}\right]=+Ed\upsilon \tag{08} \end{equation} en segundo lugar, desde la $\:\rho\equiv0\:$⁽³⁾ en todos los lugares, en $\:S(t)\:$ \begin{equation} \int\limits_{S(t)}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}=\int\limits_{S(t)}\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}=0 \tag{09} \end{equation} y en tercer lugar \begin{equation} \int\limits_{S(t)} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}=\oint\limits_{\partial S(t)}\left( \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d \boldsymbol{\ell}=-Ed\upsilon \tag{10-wrong, see 10%#%#%} \end{equation} Finalmente \begin{equation} \oint\limits_{\partial S(t)}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d \boldsymbol{\ell}\:=\:\mu_{0}\epsilon_{0}\int\limits_{S(t)} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{S}=0 \tag{11-wrong, see 11%#%#% } \end{equation}

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EDITAR UN

Como @freecharly comentado (Ene'12 2018) :

Sus derivaciones son todos perfectos. Excepto por la ecuación (10). Como Anton Fetisov ha señalado, el camino de la integración se ejecuta en el hilo metálico, donde el campo eléctrico es cero, lo cual es debido a la superficie de los cargos en el cable inducida por el campo homogéneo de lo positivo de la hoja de cargo. Por lo tanto, esta depende del tiempo de ruta se ejecuta en el hilo metálico circuito, la integral es cero \begin{equation} \oint\limits_{\partial S(t)}\left( \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d \boldsymbol{\ell}=0 \nonumber \end{equation} Por lo tanto, también la RHS de equ.(11) es $^{\boldsymbol{\prime}}$!

Bajo estas sugerencias la correcta ecuaciones y la exactitud del resultado final son como sigue

En lugar de la ecuación (10) \begin{equation} \oint\limits_{\partial S(t)}\left( \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times} \mathbf{E}\right)\boldsymbol{\cdot} \mathrm d \boldsymbol{\ell}=0 \tag{10%#%#%} \end{equation} y, finalmente, \begin{equation} \boxed{\:\:\: \oint\limits_{\partial S(t)}\!\mathbf{B}\!\boldsymbol{\cdot}\! \mathrm d \boldsymbol{\ell}\stackrel{(03)}{=\!\!=}\mu_{0}\epsilon_{0}\!\!\int\limits_{S(t)}\! \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\!\boldsymbol{\cdot}\!\mathrm d\mathbf{S}\stackrel{(07),(09),(10^{\boldsymbol{\prime}})}{=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=\!\!=}\:\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\!\!\int\limits_{S(t)}\!\mathbf{E}\left(\mathbf{x},t\right)\!\boldsymbol{\cdot}\!\mathrm d\mathbf{S}\stackrel{(08)}{=\!\!=}\mu_{0}\epsilon_{0}E\!\cdot\! d\!\cdot\!\upsilon=\frac12\mu_{0}\sigma d \upsilon \vphantom{\oint\limits^{\partial S(t)}_{\partial S(t)}a}\:\:\:} \tag{11%#%#%} \end{equation}

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^{(1) 'Generalizada de Vectores y Análisis Diádico', Chen-Tai, IEEE PRESS, 2ª Edición 1997 ecuaciones (6.11),(6.12) página 119.Ver un extracto aquí : el Análisis Vectorial de Transporte de Teoremas.}

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^{(2) Creo que existen muchos libros de texto para encontrar una prueba de Helmholtz de transporte teorema. Pero usted podría leer mi esfuerzo para demostrar esto (con éxito quiero creer) aquí : Flujo de un campo vectorial a través de móviles/superficies deformables}

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^{(3) Debemos distinguir los casos de los símbolos $^{\boldsymbol{\prime}}$ $=Edv$ utilizado en la pregunta, las respuestas y los comentarios \begin{align} \rho & = \begin{cases} \textbf{volume charge density} \\ \textbf{resistivity} \end{casos} \etiqueta{nota-01}\\ \sigma & = \begin{cases} \textbf{surface charge density} \\ \textbf{conductivity} \end{casos} \etiqueta{nota-02} \end{align}}

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