Cómo probar un no-comprobable declaración? Eso es raro...

Question

a) hay de los enunciados matemáticos, por ejemplo. formulado en Peano, que son conocidos para ser cierto, pero no demostrable. Si no es demostrable, ¿cómo podemos "probar" que son verdaderas? ¿No es sospechoso? (Creo que Gödel no abordar esta exactamente en este formulario. Él dice que hay algo que es cierto, pero no dice que podemos saber que es verdad.)

b) Supongamos que añadir a Peano todas esas declaraciones, que puede ser conocido para ser verdad teóricamente. Voy a tener una instrucción, que puede ser conocido para ser cierto, pero no es demostrable? Creo que Gödel no abordar esta exactamente en este formulario. Él dice que hay algo que es cierto, pero no dice que podemos saber que es cierto.

Answer 1

Las declaraciones de Gödel de teoremas se acerca (por simplicidad) de una cierta teoría formal, es decir,$PA$, conocido como la aritmética de Peano (en realidad son más generales, pero me quedo con que). Esta teoría contiene axiomas, como $\forall x \forall y, x\times s(y) = x\times y + x$ y muchos otros.

Ahora también hay un sistema formal que permite deducir teoremas a partir de estos axiomas, uno de estos teorema sería $\forall x \forall y, x\times y = y\times x$.

También hay frases $\phi$ que puede ser expresado en este lenguaje que no puede ser probada o refutada en esta teoría. Esto es algo que se espera, de hecho si yo no tengo los axiomas, por ejemplo, entonces es claro que no puedo probar mucho más allá de la lógica tautologías (aunque no es tan fácil ver lo que uno puede probar sin axiomas, pero esa es otra cuestión), por lo que podemos esperar que con muy pocos axiomas, algunas cosas quedan indecisos (¿por qué debería hemos encontrado todos los axiomas ?)

Sin embargo también tenemos un "modelo" de estos axiomas, que es en un sentido un universo en el que estas son verdaderas. Un "universo" es $\mathbb{N}$. En este universo todos los axiomas en $PA$ son verdaderas, y por lo tanto, todos los teoremas de $PA$ son verdad. Sin embargo, una declaración de $\phi$ que no puede ser probada o refutada en $PA$ tiene un valor de verdad en $\mathbb{N}$ : es verdadero o falso (que no debe confundirse con "ya sea comprobable o rebatible"). Los enunciados que son verdaderos en $\mathbb{N}$ a veces se llaman las declaraciones de la "verdad de la aritmética".

Desde que trabajo en una mucho más poderosa teoría de $PA$ (es decir, ZF) podemos probar cosas acerca de $\mathbb{N}$ que van más allá de los teoremas de $PA$. Obviamente, lo que se demuestra que no puede contradecir los teoremas de $PA$, pero podemos probar cosas que $PA$ no puede. En particular, no es de extrañar que podamos decidir las penas que $PA$ no puede: Gödel primer teorema de la incompletitud dice que este es el caso; no es una declaración de $\phi$ que es parte de la verdadera aritmética (es cierto en $\mathbb{N}$, y para la vulgarización a los efectos de que uno puede decir que es cierto), pero no es demostrable a partir de $PA$. En resumen, no son verdaderas, pero no demostrable frases.

Ahora si se añade a Peano todas las declaraciones de la verdadera aritmética de obtener... la verdadera aritmética ! Desde los axiomas de Peano son verdaderas en $\mathbb{N}$, son parte de la verdadera aritmética, tan cierto aritmética + $PA$ = true aritmética. Sin embargo, como cada frase es verdadera o falsa en $\mathbb{N}$, significa que esta nueva teoría (a veces escrito $Th(\mathbb{N})$ "teoría de la $\mathbb{N}$") decide cada instrucción: cada enunciado es demostrable o rebatible de este, por lo que no habrá más "cierto, pero no demostrable declaraciones".

Esto parece contradecir el teorema de Gödel, pero en realidad no desde $Th(\mathbb{N})$ no satisface las hipótesis de este teorema, de hecho, no es recursivamente axiomatizable, lo que significa que no existe ningún algoritmo que puede decidir si una frase determinada $\phi$ es un axioma. Así que es bastante "cutre" de la teoría en el sentido de que no podemos usarlo, contrario a $PA$. El teorema de Gödel no decir que cualquier teoría acerca de los números enteros tiene cierto pero no demostrable declaraciones, dice que cualquier utilizable teoría de la verdad, pero no demostrable declaraciones.

Espero que esto hace las cosas más claras

Answer 2

Intuitivamente: considere la declaración

"esta afirmación no es demostrable en la teoría de la $T$".

Esta declaración es verdadera si es que no es demostrable en $T$.

Gödel formalmente ha demostrado que dicha declaración puede ser expresado, y él y su negación no es demostrable, en cualquier teoría que contiene la aritmética de Peano.

Y la adición de la declaración como un nuevo axioma da una nueva teoría en la que podemos definir una nueva no es demostrable declaración de la misma clase.

Answer 3

Hay dos puntos aquí:

1. En el contexto de la aritmética, el término "verdadero" significa "verdadero en la estructura de la $\Bbb N$. Así que cuando el teorema de Gödel afirma que existe una "verdadera declaración de que no es demostrable", que significa "verdadero en los números naturales" y no es demostrable a partir de $\sf PA$, o lo que sea relevante axiomática del sistema del que estamos hablando.

   Pero la verdad, incluso en los números naturales, podría depender de su meta-teoría. Este es un spot de pregunta, ya que la elección de la meta-teoría depende mucho del matemático. Pero supongo que la mayoría de la gente estaría de acuerdo en que desde $\sf PA$ es consistente, la declaración "$\sf PA$ es consistente" (que puede ser formulado como la no existencia de una solución para una ecuación de Diophantine, para la concreción) es verdadera, pero no es demostrable.

2. El teorema de la incompletitud no estatal "cada suficientemente complicado sistema es incompleto". Más bien afirma que "cada suficientemente complicado sistema que puede ser reconocido por un equipo está incompleto". Si sumamos todos los enunciados verdaderos, entonces tenemos una teoría completa, pero esta teoría no es más reconocible por un ordenador. Es decir, no podemos escribir un algoritmo que nos diga si una declaración es un axioma de nuestra teoría o no.

   Esto es malo, porque el hecho de que podemos utilizar una computadora para verificar nuestros axiomas medios que podemos utilizar una computadora para verificar nuestras pruebas. Y, entonces, el teorema de la incompletitud nos dice que si queremos renunciar a la imperfección, ya no se puede utilizar de maquinado prueba de verificación. Y desde que el ser humano tiende a cometer errores, así que no es ideal.

En cualquier caso, demostrar las cosas con una fuerte teoría. La declaración de $x\cdot y=y\cdot x$ no es demostrable a partir de los axiomas de grupo. Después de todo, no cada grupo Abelian. Pero usted puede probar esto una vez que se agrega como un axioma, o añadir una más fuerte axioma como $x\cdot x=1$.

Answer 4

Para cada frase, $\phi$ en la aritmética de Peano ha $\mathbb{N}\models\phi$ o $\mathbb{N}\models\neg\phi$, pero no tanto, es decir, usted tiene que $\phi$ o $\neg\phi$ que es verdad en $\mathbb{N}$.

Gödel del segundo teorema de la incompletitud dice que existe una sentencia de $\phi$ tal manera que ninguno de $\phi$ ni $\neg\phi$ es comprobable en la aritmética de Peano. Sin embargo, uno de ellos es verdadero (en la estructura de la $\mathbb N$).