Fraleigh(7ed) Ejemplo37.14 Ningún grupo de orden 36 es simple. Un grupo así $G$ tiene $1$ o $4$ subgrupos de orden $9$ . Si sólo hay un subgrupo de este tipo, es normal en $G$ . Si hay cuatro subgrupos de este tipo, sea $H$ y $K$ ser dos de ellos. $H \cap K$ debe tener al menos $3$ elementos, o $HK$ tendría que tener $81$ elementos, desde $|HK|=|H||K|/|H\cap K|$ . Así, el normalizador de $H \cap K$ tiene como orden un múltiplo de $>1$ de $9$ y un divisor de $36$ por lo que el orden debe ser $18$ o $36$ . Si el pedido es $18$ el normalizador es entonces de índice $2$ y por lo tanto es normal en $G$ . Si el pedido es $36$ entonces $ H \cap K$ es normal en $G$ .
No entiendo la frase resaltada. Debe ser de ese $N(H \cap K) \supset H$ (o $K$ ), pero por qué $H\cap K$ es normal en $H$ o $K$ ? Supongo que debe ser del primer thoerem de Sylow (abajo). Pero el primer teorema de Sylow parece afirmar que $H\cap K$ es un subgrupo normal de un subgrupo de orden $9$ No es necesario. $H$ o $K$ , tal vez otros que no sean $H$ y $K$ . ¿Cómo puedo concluir que $H \cap K$ es un subgrupo normal de $H$ o $K$ ?
Primer teorema de Sylow Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $|G|=p^n m$ donde $n\ge1$ y donde $p$ no divide $m$ . Entonces
1. $G$ contiene un subgrupo de orden $p^i$ para cada $i$ donde $1 \le i \le n$
2. cada subgrupo $H$ de $G$ de orden $p^i$ es un subgrupo normal de un subgrupo de orden $p^{i+1}$ para $1\le i<n$
Editar: Fue muy fácil. Por el primer teorema de Sylow, $H \cap K$ es un subgrupo normal de un subgrupo de orden $9$ no necesariamente $H$ o $K$ . Pero sigue siendo cierto que $N(H \cap K)$ contiene un subgrupo de orden $9$ Así que $N(H\cap K)$ tiene como orden un múltiplo de $9$ .
