Finito anillo tiene divisores de cero

Question

"Si el elemento distinto de cero $a$ de el anillo de $\mathbb{D}$ no tiene un inverso multiplicativo, entonces $a$ debe ser un divisor de cero".

Si $\mathbb{D}$ tiene un número finito de elementos, entonces la afirmación es verdadera. Sin embargo, no veo por qué no, como para el caso infinito, 7 no es un divisor de cero sólo porque cada elemento de a $a > 0$ cuando se multiplica por un $b > 0$ da $ab > 0$ que no tiene nada que ver con el infinito o finito de cantidades de elementos.

Answer 1

Si $\mathbb D$ es finito, con $n$ elementos, y $a\in \mathbb D$ no tiene un inverso multiplicativo, consideramos que los elementos $$ad_1, ad_2 \dots ad_n$$where the $d_i$ are the $n$ distinct elements of $\mathbb D$. None of these elements is $1$, so the $n$ elements can have at most $n-1$ different values - so two of them must be equal.$$ad_i=ad_j \implies a(d_i-d_j)=0$$Since $d_i\neq d_j$, $$ es un cero divisor.

Tenga en cuenta que este hace uso de la finitud de la asunción de una forma esencial. $2\in \mathbb Z$ no tiene un inverso multiplicativo, y no es un divisor de cero. Hay un número de pruebas como esta (por ejemplo, un finito integral de dominio es un campo, no es cierto en el caso infinito) que dependen de la capacidad de contar los elementos de un objeto finito.

Tenga en cuenta que en el anillo de enteros mod $14$, $7$ no tiene un inverso multiplicativo, y $2\times 7=0$. En el anillo de enteros de mod $15$ tenemos $7\times 13 =1$ $7$ no es un divisor de cero.

Answer 2

Considerar las solicitudes $l_a:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{D}$$r_a:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{D}$$l_a(x)=a\cdot x$$r_a(x)=x\cdot a$. Ambos son inyectiva si $a$ no es un divisor de cero. Pero, debido a $\mathbb{D}$ es finito ambos son surjective demasiado. Luego tienes a la izquierda y a la derecha la recíproca para $a$ y listo.