Algunos problemas con una prueba en $n!/(\sqrt{n})^n \geq 1$

Question

Originalmente, el problema es demostrar que $n! \geq n^{n/2}$.

He reducido a: $n! \geq (\sqrt{n})^n$ por lo que:

Demostrar que $\frac{n!}{(\sqrt{n})^n} \geq 1$.

Cada término en $n!$ se divide por el $\sqrt{n}$, y la multiplicación debe dejarlo $\geq 1$.

Algunos de los consejos.

Answer 1

Considere que el producto $$(1\cdot2\cdot 3\cdots n)( 1\cdot 2\cdot 3 \cdots n).$$ Dividir estos números en pares, como en el "Bebé de Gauss" manera de encontrar la $1+2+3+\cdots +n$. El trabajo de ambos extremos. Nuestro producto es $$[1\cdot n][2\cdot (n-1)][3\cdot (n-2)]\cdots [n\cdot 1].$$ Tenemos $n$ parejas, cada una con suma $n+1$. En general, $$xy=\frac{(x+y)^2}{4}-\frac{(x-y)^2}{4}.$$ Deje $x+y$ se fija en $n+1$, y deje $x$ $y$ ser enteros positivos. A continuación, $xy$ se minimiza cuando se $|x-y|$ es tan grande como sea posible, que es, al $|x-y|=n-1$. De modo que el producto mínimo de dos emparejado números es $n$. De ello se sigue que $$(n!)^2 \ge n^n.$$

Answer 2

$$ s^{s}=\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty }t^{m-1}e^{-st}dt $$ (desde aquí) por lo tanto $(n!)^2 n^{-n}=\Gamma(n+1)^2\frac1{\Gamma(n)}\int \limits_0^\infty t^{n-1}e^{-nt}=n\Gamma(n+1)\int \limits_0^\infty t^{n-1}e^{-nt}\ge 1$

Answer 3

Sugerencia (también, no reexpresar el problema como lo hizo):

Supongamos $n > 1$ es impar, es decir, $n = 2k+1$ algunos $k \geq 1$.

A continuación,$n! = 1 * 2 * 3 * ... * (2k+1)$. Olvídate de la primera multiplicand / multiplicando:

$n! = [2 * 3 * ... * (k+1)] * [(k+2) * ... * (2k+1)].$

Cada soporte contiene el número de multiplicands? ¿Qué más se puede irregular?

Luego, un argumento similar puede hacerse para $n$ incluso.

Answer 4

$$n! \geq n^{n/2}\Leftrightarrow(n!)^{2}\geq n^{n}$$ Observe que $$(n!)^{2} =\prod_{k=1}^{n}k\prod_{k=1}^{n}(n+1-k) =\prod_{k=1}^{n}k(n+1-k)$$ y para cada uno de los $k$, $k(n+1-k)-n=(k-1)(n-k)\geq0$, por lo $k(n+1-k)\geq n$ por cada $k$, $$(n!)^{2}=\prod_{k=1}^{n}k(n+1-k)\geq\prod_{k=1}^{n}n=n^{n}$$