Cómo solucionar $$\int \frac{\,dx}{(x^3 + x + 1)^3}$$ ?
Wolfram Alpha me da algo que yo no estoy familiarizado con. Pensé que la idea era utilizar fracciones parciales debido a $x^3$ $x$ son bijections, debe haber una raíz real, pero parece que Wolfram Alpha es el uso de métodos numéricos para aproximar la raíz así que no es un "buen" número. Yo no puedo cosa de cualquier sustitución que podría ayudar a mí, ni a ninguna fórmula para transformar este denominador. La fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ también produce un proceso más complejo, integral:
$$ \,dv = \,dx \implica que v = x \\ u = \frac{1}{(x^3 + x + 1)^3} \implica du = -3\frac{3x^2 + 1}{(x^3 + x + 1)^4} \,dx \\ \int \frac{\,dx}{(x^3 + x + 1)^3} = \frac{x}{(x^3 + x + 1)^3} + 3\int \frac{3x^3 + x}{(x^3 + x + 1)^4} \,dx \\ = \frac{x}{(x^3 + x + 1)^3} + 3\int \frac{3x^3 + x \pm 2x \pm 3}{(x^3 + x + 1)^4}\,dx \\ = \frac{x}{(x^3 + x + 1)^3} + 3\int \frac{3x^3 + 3x + 3}{(x^3 + x + 1)^4}\,dx + 3\int \frac{- 2x - 3}{(x^3 + x + 1)^4}\,dx \\ = \frac{x}{(x^3 + x + 1)^3} + 9\int \frac{\,dx}{(x^3 + x + 1)^3} - 3\int \frac{2x + 3}{(x^3 + x + 1)^4} \,dx \\ I = \int \frac{\,dx}{(x^3 + x + 1)^3} \implica \\ -8I = \frac{x}{(x^3 + x + 1)^3} - 3\int \frac{2x + 3}{(x^3 + x + 1)^4} \,dx$$
Es esto realmente tan complicado como Wolfram Alpha "dice" a mí o es que hay algún tipo de "truco" que puede ser aplicado?
Respuestas
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Sugerencia: el polinomio $x^3+x+1$ tiene una raíz real, decir $\alpha$. A continuación, $x^3+x+1=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2+1)$ y, a continuación, aplicar técnicas de integración de expresiones racionales de polinomios con la repetición de los factores, véase, por ejemplo, https://math.la.asu.edu/~surgent/mat271/parfrac.pdf
La integral es una función racional, entonces, uno debe ser capaz de aplicar el método de fracciones parciales, sin embargo, la verdadera raíz de la $x^3+x+1$ es irracional sin una bonita expresión, esto dificulta la aplicación parcial de las fracciones, sin embargo, algunos avances se pueden hacer.
Considerar en primer lugar qué tipo de funciones que podemos obtener a partir de la integración de fracciones parciales.
1) los Logaritmos. Estos vienen desde lineal de los factores del denominador. 2) la tangente Inversa de las funciones. Estos vienen desde cuadrática factores del denominador. 3) las funciones Racionales. Estos provienen de la ocurrencia repetida de los factores en el denominador, como es el caso de esta integral.
Ahora para encontrar las expresiones para los términos de los dos primeros tipos necesitamos la factorización del denominador. Sin embargo, el término del tercer tipo puede ser calcula aritméticamente sin factorizar el denominador.
Por lo tanto queremos encontrar una expresión de la forma $$\int \frac{P}{Q}=\frac{P_1}{Q_2}-\int \frac{P_2}{Q_2}$$
Donde $Q_2$ contiene tiene los mismos factores como $Q$ sólo con la repetición. Y donde tenemos $Q=Q_1Q_2$, Ahora $Q_1=(Q,Q^{\prime})$ se calcula aritméticamente $Q_2$ se encuentra por la división. En nuestro caso $Q=(x^3+x+1)^3$ $Q_2= x^3+x+1$ y $Q_1=(x^3+x+1)^2$. Queda por encontrar$P_1$$P_2$. Mediante la diferenciación de la expresión anterior obtenemos la fórmula, $$P=P_1^{\prime}Q_2-P_1H+P_2Q_1$$ donde $$H=\frac{Q_1^{\prime}Q_2}{Q_1}$ $ , que es fácilmente visible a ser un polinomio. En nuestro caso $$H=\frac{Q_1^{\prime}Q_2}{Q_1}=\frac{2(x^3+x+1) (3x^2+1)(x^3+x+1)}{(x^3+x+1)^2}=6x^2+2$$
Ahora nos fijamos $$P_1=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$$ y $$P_2=Gx^2+Hx+K$$ Así, podemos establecer esta en nuestra fórmula y obtener un sistema de ecuaciones. Las primeras ecuaciones de dar, Esto da $G=0$ $H=A$ $K=2B$ podemos simplificar un poco de escritura, \begin{equation*} \begin{split} 1=&(5Ax^4+4Bx^3+3Cx^2+2Dx+E)(x^3+x+1)\\ &-(Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F)(6x^2+2)\\ &+(Ax+2B)(x^6+2x^4+2x^3+x^2+2x+1)\\ \end{split} \end{ecuación*}
Después de sucesivas eliminación reducimos a $$119A+162B=0$$ $$13A+50B=6$$ lo que finalmente nos da la solución, así que en definitiva,
$$\int \frac{dx}{(x^3+x+1)^3}=\frac{-486x^5+ 357x^4-810 x^3-315x^2+312x-448}{1922(x^3+x+1)^2}+ \int \frac{-486x+714}{1922(x^3+x+1)}dx.$$
Ahora ir más lejos tenemos una raíz de la ecuación. Sólo hay una raíz real de modo que podemos esperar de un logarítmica y una arctan plazo.
