Entender la definición del orden de una función entera en el Análisis Complejo de Ahlfors

Question

Dejemos que $f: \mathbb C \to \mathbb C$ sea una función completa. El pedir de $f$ se define por $$\lambda=\limsup_{r \to \infty} \frac{\log \log M(r)}{\log r}, $$ donde $$M(r)=\max_{|z|=r} |f(z)| .$$

Ahlfors en su Análisis complejo afirma que

"Según esta definición $\lambda$ es el El más pequeño número tal que $$M(r)\leq e^{r^{\lambda+\varepsilon}} $$ para cualquier $\varepsilon > 0$ tan pronto como $r$ es suficientemente grande".

¿Por qué es así?

Mi intento:

Sabemos que $$\lambda=\lim_{\rho \to \infty} \sup_{r \geq \rho} \frac{\log \log M(r)}{\log r}. $$

De la definición del límite tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existe alguna $\rho_0>0$ , de tal manera que $$\left\lvert \sup_{r \geq \rho} \frac{\log \log M(r)}{\log r}-\lambda \right\rvert \leq \varepsilon ,$$ por cada $\rho \geq \rho_0$ . En otras palabras $$\frac{\log \log M(r)}{\log r} \leq \lambda+\varepsilon $$ por cada $r \geq \rho_0$ . A partir de aquí es fácil ver que $$M(r)\leq e^{r^{\lambda+\varepsilon}}, $$ para todos $r \geq \rho_0$ . No veo por qué $\lambda$ es el El más pequeño número con esta propiedad.

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$F(\rho) = \sup_{r \geqslant \rho} \frac{\log\log M(r)}{\log r}$$

es una función no creciente de $\rho$ Por lo tanto $\lim\limits_{\rho\to\infty} F(\rho) = \inf\limits_{\rho > R} F(\rho).$

Por la definición de los limes superiores, para cada $\mu < \lambda$ con $\varepsilon = \frac{\lambda-\mu}{3}$ hay radios arbitrariamente grandes $r$ con

$$\frac{\log \log M(r)}{\log r} > \lambda - \varepsilon = \mu + 2\varepsilon,$$

y esa desigualdad es equivalente a

$$M(r) > e^{r^{\mu+2\varepsilon}},$$

por lo que para cada $\mu < \lambda$ Hay un $\varepsilon > 0$ , de tal manera que no hay $\rho_0$ con

$$M(r) \leqslant e^{r^{\mu+\varepsilon}}$$

para todos $r \geqslant \rho_0$ En efecto

$$M(r)e^{-r^{\mu+\varepsilon}}$$ es ilimitado para todo lo que sea suficientemente pequeño $\varepsilon > 0$ entonces.

Answer 2

Una vez me topé con esta definición también. Me gustaría escribir un poco más de detalles que la buena respuesta de Daniel aquí.

Por conveniencia, defina ( ${\small \text{we will discuss this definition later}}$ ) para $r>0$ que $$ G(r):=\frac{\log\log M(r)}{\log r}. $$ Demostramos lo siguiente propuesta:

Con la definición $ \lambda:=\limsup_{r\to\infty}G(r), $ la siguiente espera.

(1) Para cada $\epsilon>0$ existe $R>0$ tal que para cada $r\geqslant R$ , $$ M(r)\leqslant \exp(r^{\lambda+\epsilon})\tag{*} $$ (2) Si $\mu>0$ es tal que para cada $\epsilon>0$ existe $R>0$ tal que para cada $r\geqslant R$ , $$ M(r)\leqslant \exp(r^{\mu+\epsilon}), $$ entonces $\lambda\leqslant\mu$ . (Tenga en cuenta que esto es lo que significa "más pequeño" en Ahlfors).

Prueba . Por definición del $\limsup$ tenemos $$\lambda=\inf_{R>0}\sup_{r\geqslant R}G(r),$$ lo que implica (por la definición de $\inf$ ) que para cada $\epsilon>0$ existe $R>0$ tal que

• (i) $\sup_{r\geqslant R}G(r)<\lambda+\epsilon$ ;
• (ii) $\sup_{r\geqslant R}G(r)\geqslant\lambda$ .

Ahora demostraremos que (i) implica (1) y (ii) implica (2).

Nótese que (i) en particular implica que $$ G(r)<\lambda+\epsilon,\quad r\geqslant R. $$ Tomando la función exponencial dos veces en ambos lados de $$ \log(r)G(r)<\log(r)(\lambda+\epsilon) $$ obtenemos (1).

Por otro lado, la suposición de (2) implica que para cada $\epsilon>0$ , $ \sup_{r>R}G(r)\leqslant \mu+\epsilon, $ y por lo tanto $$ \sup_{r>R}G(r)\leqslant \mu, $$ que junto con (ii) da como resultado $$ \lambda\leqslant\mu. $$

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Nota: $G(r)$ está bien definida sólo para $M(r)>1$ . Pero esto es cierto para un tamaño suficientemente grande $r$ ya que se podría suponer que toda la función no es constante.