Pregunta sobre el functor Mackey en relación con Greenlees y May

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito.

En su documento Algunas observaciones sobre la estructura de los funtores Mackey Greenlees y May definen un functor:

$R: GMod \rightarrow M[G]$ donde $GMod$ es la categoría de la izquierda finita $G$ -módulos y $M[G]$ es la categoría de $G$ Los funtores de Mackey por:

$RV(G/H) = V^H$ donde $V^H= \{v\in V| h(v) = v \hspace{.2cm} \forall h\in H\}$ y $V$ es un $G$ módulo.

Pregunta: En el teorema 12, ¿por qué $coker(\eta)$ y $ker(\eta)$ en $\mathcal{A}$ ?

Answer 1

Hay que pensar en la ordenación lexicográfica de los pares $(j,k)$ como una ordenación de los funtores Mackey (llamada tipo ) así como en los subgrupos $H \leq G$ (que también llamaré tipo aunque no lo hagan). En este lenguaje, un functor Mackey tiene el tipo $(j,k)$ exactamente cuando desaparece en todos los subgrupos de tipo inferior a $(j,k)$ pero no desaparece en subgrupos de tipo $(j,k)$ .

Ahora, supongamos que $type(M)=(j,k)$ . Tenemos un functor canónico de Mackey $R(M(G/H_{j,k}))$ de tipo $(j,k)$ [ver nota a pie de página] y con el mismo valor en $G/H_{j,k}$ y éste recibe un mapa $\eta$ de $M$ que es la identidad en $G/H_{j,k}$ . Ni la fuente ni el objetivo de $\eta$ se evalúa alguna vez de forma no trivial en subgrupos de tipo inferior a $(j,k)$ y debido al hecho anterior en negrita, el núcleo y el cokernel de $\eta$ también se evalúa trivialmente en $G/H_{j,k}$ . Por lo tanto, tienen un tipo estrictamente mayor que $(j,k)$ , por lo que están en $\mathscr{A}$ por suposición.

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nota: Aquí es donde usamos la suposición de que si $type(H)=(j,k)$ entonces $type(J)_1<j$ para todos $J \lneq H$ .