Encontrar $b$ al $(2+\sqrt{3})^n=5042+b\sqrt{3}$

Question

Encontrar $b$ al $(2+\sqrt{3})^n=5042+b\sqrt{3}$

Vi que $n$ no puede ser más grande que $11$ porque entonces la parte racional va a ser más grande que $5024$. Pero no sé cómo encontrar el $n$ exactamente y cómo averiguar $b$ entonces. Cualquier sugerencias?

Nota: $b$ $n$ son enteros.

Answer 1

Tenga en cuenta que $2+\sqrt{3}$ es una raíz de $x^2-4x+1$. Por lo tanto, las secuencias de $(a_n)$ $(b_n)$ definido por $$(2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$$ ambos satisfacer $$a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}\qquad \qquad b_n=4b_{n-1}-b_{n-2}$$ con los valores iniciales, por supuesto, dado por $$\begin{align*} (2+\sqrt{3})^0=1+0\sqrt{3}&\; \implies \; a_0=1,\quad b_0=0\\ (2+\sqrt{3})^1=2+1\sqrt{3}&\; \implies \; a_1=2,\quad b_1=1 \end{align*}$$ A usted se le dijo que $$(2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}=5042+b\sqrt{3}$$ para algunos $n$, y pidió que encontrara a $b$. Para hacer esto, usted sólo tiene que encontrar el valor de $n$ que $a_n=5042$, y, a continuación, calcular el correspondiente valor de $b_n$.

Dada la recurrencia y los valores iniciales, por supuesto, usted puede ahora utilizar la fuerza bruta en la secuencia de $a_n$, la informática, la mayor y más altos valores $$a_0 = 1,\qquad a_1 = 2,\qquad a_2=7,\qquad a_3=26,\qquad a_4=97,\qquad \ldots$$ hasta encontrar el $n$ que le da $5042$, momento en el que tendría que calcular $b_n$ que $n$, y será hecho.

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Sin embargo, puede ser útil disponer de un enfoque alternativo, por ejemplo, si a usted le dijeron a encontrar el valor de $n$ que $$a_n=19785515999613069781581367687$$ puede que prefieren prescindir de los tediosos cálculos.

Tenga en cuenta que la otra raíz de $x^2-4x+1$$2-\sqrt{3}$, por lo tanto $(a_n)$ $(b_n)$ va a satisfacer $$\begin{align*} a_n&=A_0(2+\sqrt{3})^n+A_1(2-\sqrt{3})^n\\ b_n&=B_0(2+\sqrt{3})^n+B_1(2-\sqrt{3})^n \end{align*}$$ para algunos números de $A_0,A_1,B_0,B_1$, lo que se puede deducir usando los valores iniciales de $a_0,a_1,b_0,b_1$.

Tenga en cuenta que$|2-\sqrt{3}|<1$, por lo que la contribución de ese plazo para que el valor total de $a_n$ es insignificante para un gran $n$. Por lo tanto, $a_n\approx A_0(2+\sqrt{3})^n$ grandes $n$, por lo que $$n\approx\log_{2+\sqrt{3}}(a_n/A_0)=\frac{\log(a_n)-\log(A_0)}{\log(2+\sqrt{3})}$$ Puede conectarse y comprobar el valor de $a_n$ para los números enteros cerca de este valor para encontrar el exacto $n$.

Answer 2

Primera nota de que

$(2+\sqrt{3})^n = a+b\sqrt{3}$

con $a,b$ ambos enteros positivos para cualquier número entero positivo $n$. También hay un conjugado relación

$(2-\sqrt{3})^n = a-b\sqrt{3}$

y luego tenemos el producto de estas dos relaciones

$1 = a^2-3b^2$

Para cualquier número entero positivo $n$ el producto de la relación implica que $b$ es el mayor número entero menor que $a/\sqrt{3}$. Así punch que el cociente en la calculadora con el valor dado de a $a$ y leer la totalidad del número de parte.