Evaluar $\int{\frac{4x}{(x^2-1)(x-1)}dx}$

Question

Así que sé que tengo que usar el método de las fracciones parciales para resolver esta integral. Sin embargo cuando la divido como:

$$\frac{4x}{(x^2-1)(x-1)} = \frac{Ax + B}{x^2-1} + \frac{C}{x-1}$$

Me encuentro con que no puedo resolver los valores de A, B, C. De hecho, la pregunta insinúa que primero tengo que "factorizar el denominador completamente".

Pensaba que ya estaba factorizado, pero la solución que tengo lo factoriza:

$$\frac{4x}{(x^2-1)(x-1)} = \frac{4x}{(x-1)^2(x+1)}$$

¿Puede alguien explicar el proceso de pensamiento que hay detrás de esta transformación, por qué es más "completa", y por qué mi configuración inicial es incorrecta?

Pregunta y solución originalmente de:

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/exams/prexam4b.pdf

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/exams/prexam4bsol.pdf

Answer 1

Su configuración inicial es incorrecta, ya que nunca puede haber constantes $A,B,C$ para lo cual

$$\frac{4x}{(x^2 -1)(x-1)} = \frac{Ax+B}{x^2 -1} + \frac{C}{x-1}$$

Esto se puede ver multiplicando por $x^2-1$ . Verás que el lado derecho se convierte en un polinomio, mientras que el lado izquierdo no.

Las técnicas estándar de fracciones parciales tratan de obtener el denominador en la forma $$(x-a_1)^{r_1} (x - a_2)^{r_2} ... (x-a_n)^{r_n}$$

con el $\displaystyle a_i$ ser distintos: esto es crucial.

Así que en tu caso, $\displaystyle (x^2-1)(x-1)$ se convierte en $\displaystyle (x-1)(x+1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)$

Answer 2

Otra forma de dividir las integrales. Escribe $4x = (x+1)^{2} - (x-1)^{2}$ entonces tienes

\begin{align*} \int\frac{4x}{(x^{2}-1)\cdot(x-1)} \ dx &= \int \frac{ (x+1)^{2}}{(x^{2}-1) \cdot (x-1)} \ dx - \int \frac{(x-1)^{2}}{(x^{2}-1) \cdot (x-1)} \ dx \\ &=\int \frac{x+1}{(x-1)^{2}} \ dx - \int \frac{1}{x+1} \ dx \\ &=\int \frac{1}{x-1} \ dx + 2 \int\frac{1}{(x-1)^{2}} \ dx - \int\frac{1}{x+1} \ dx \end{align*}

Answer 3

Hay que tener en cuenta el $x^2-1$ término. Eso le dará un plazo $(x-1)^2$ en el denominador, por lo que se necesita $\displaystyle\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x-1)^{1}}+\frac{C}{(x-1)^2}.$

Answer 4

$(x^2-1)(x-1)$ no está completamente factorizado porque $x^2-1$ se puede factorizar aún más como $(x-1)(x+1)$ .

Así que obtenemos $(x-1)(x+1)(x-1)$ . Está completamente factorizado. Como uno de los factores aparece dos veces, se escribe como algo al cuadrado.