¿Es posible asignar un valor a la suma de números primos?

Question

Es posible, por medio de la función zeta de regularización y la Ramanujan suma método para asignar un determinado valor a la suma de los números naturales (en este caso $n \to \infty $) : $$ 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n \mathrel{\unicode{x201c;}{=}\unicode{x201d;}} - \frac{1}{12} . $$ También es posible asignar un valor a la suma de los números primos, $$ 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + \cdots + p_{n} $$ ($n \to \infty$) mediante el uso de cualquier método de la sumación de series divergentes?

Esta pregunta está inspirada en una pregunta en quora.

Gracias de antemano,

Answer 1

Fröberg muestra en su papel que la primer función zeta

$$P(s)=\sum_{p\in \mathbb P} \frac1{p^s}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k}\log\zeta(ks)$$

donde $\mu(k)$ $\zeta(s)$ son, respectivamente, el Möbius y Riemann de funciones, no pueden ser analíticamente siguió a la mitad izquierda del plano -, $\Re\,s\leq 0$ (en particular, no podemos dar una razonable evaluación de $P(-1)$), debido a la agrupación de los polos a lo largo del eje imaginario derivadas de los ceros no triviales de la de Riemann $\zeta$ función.

Nota el desagradable aspecto bordes izquierdo en ambas parcelas anteriormente.

Este resultado es originalmente debido a Landau y Walfisz. Consulte los enlaces de documentos para obtener más detalles.