Ecuación con números complejos

Question

Resuelve la siguiente ecuación en $ \mathbb{C} $ : $ |z - |z + 1|| = |z + |z - 1|| $

Lo he empezado pero no sé cómo terminarlo. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$ |z - |z + 1||^2 = (z - |z + 1|)(\bar{z} - \overline{|z + 1|}) = |z|^2 - z \cdot \overline{|z + 1|} - \bar{z} \cdot |z + 1| + |z + 1|^2 $ $ |z + |z - 1||^2 = (z + |z - 1|)(\bar{z} + \overline{|z - 1|}) = |z|^2 + z \cdot \overline{|z - 1|} + \bar{z} \cdot |z - 1| + |z - 1|^2 $

Ahora, $ |z - |z + 1|| = |z + |z - 1|| \Rightarrow |z - |z + 1||^2 = |z + |z - 1||^2 $

Así que tenemos: $ |z|^2 - z \cdot \overline{|z + 1|} - \bar{z} \cdot |z + 1| + |z + 1|^2 = |z|^2 + z \cdot \overline{|z - 1|} + \bar{z} \cdot |z - 1| + |z - 1|^2 $

$ z(\overline{|z + 1| + |z - 1|}) + \bar{z}(|z + 1| + |z - 1|) = (|z + 1| + |z - 1|)(|z + 1| - |z - 1|) $

Dividimos todo por |z + 1| + |z - 1| y obtenemos: $ z + \frac{||z + 1| + |z - 1||^2}{(|z + 1| + |z - 1|)^2} + \bar{z} = |z + 1| - |z - 1|$

Pero $ |z + 1| + |z - 1| $ es un número positivo por lo que $ ||z + 1| + |z - 1|| = |z + 1| + |z - 1| $

Así que $ z + \bar{z} = |z + 1| - |z - 1| $ .

Y ahora no sé qué hacer con esta ecuación.

Answer 1

En realidad, la división oscureció el resultado. Si se deshace multiplicando el resultado final por $|z+1|+|z-1|$ se obtiene con $\Re(z)=x$

$$2x(|z+1|+|z-1|)=|z+1|^2-|z-1|^2\tag{1}$$

El término de la derecha de (1) puede simplificarse:

$$|z+1|^2-|z-1|^2=|z|^2+2x+1-|z|^2+2x-1=4x\tag{2}$$

Combinando (1) y (2) y dividiendo por $2x$ da

$$|z+1|+|z-1|=2\tag{3}$$

que es la ecuación de una elipse degenerada en el plano complejo. Nótese que la excentricidad es igual a $1$ por lo que se termina con un segmento de línea en el eje real en el rango $x\in[-1,1]$ . Obsérvese que, como hemos dividido por $x$ , la Ec. (3) no tiene en cuenta la solución $x=0$ es decir, todo el eje imaginario. Así que, en resumen, las regiones que satisfacen su ecuación original son

$$x\in[-1,1],\;y=0\quad\text{and}\quad x=0,\;y\in\mathbf{R}$$

es decir, un segmento de línea en el eje real, y todo el eje imaginario.

Answer 2

$z+\overline{z}=|z+1|-|z-1|$
Podrías cuadrar dos veces
$$(z+\overline{z})^2=2z\overline{z}+2-2|z+1||z-1|\\ 4(z+1)(\overline{z}+1)(z-1)(\overline{z}-1)=(2-z^2-\overline{z}^2)^2\\ 4(z^2-1)(\overline{z}^2-1)=4-4z^2-4\overline{z}^2+z^4+2z^2\overline{z}^2+\overline{z}^4\\ 0=(z^2-\overline{z}^2)^2$$ así que $z^2$ es real, así que $z=x$ o $z=iy$ .
Si $z=iy$ entonces $z+\overline{z}=0=|iy+1|-|iy-1|$ , por lo que se incluye todo el eje imaginario.
Si $z=x$ entonces sólo el intervalo $[-1,1]$ está incluido.

Answer 3

He aquí una prueba geométrica mucho más sencilla:

En el diagrama, $z_1=z_0+1$ y $z_2=z_0-1$ . A continuación se dibujan arcos con centro en A y punta en $z_1$ y $z_2$ para encontrarse con el eje real en D y C respectivamente. Claramente, el punto D representará $|z_0+1|$ y el punto C representará $-|z_0-1|.$

La longitud del segmento de línea que une $z_0$ a D representará $|z_0 - |z_0 + 1||$ y el que une $z_0$ a C representará $|z_0 + |z_0 - 1||$ .

La ecuación original requiere que estos dos segmentos de línea sean iguales, y esto implica que $z_0$ debe estar en la bisectriz perpendicular de D y C. Algebraicamente, esto es equivalente a:

$$Re(z_0)={|z_0+1|-|z_0-1|\over 2}$$

Multiplicando ambos lados por $|z_0+1|+|z_0-1|$ se obtiene la siguiente ecuación después de la simplificación:

$$Re(z_0)(|z_0+1|+|z_0-1|)=2Re(z_0)$$

Que representa el eje imaginario o los puntos situados entre -1 y 1