Operadores pseudodiferenciales

Question

¿Cuál es el significado de la fórmula $\sigma (PQ)=\sum \frac{1}{\alpha!}\partial _{\xi }^{\alpha}pD_{x}^{\alpha}q\; ;\;\; \sigma (Q)=q,\;\;\; \sigma (P)=p$

si la serie del lado derecho es infinita?

¡Muchas gracias!

Answer 1

El signo de igualdad es irrelevante. En realidad es la relación asintótica $$ \sigma_{AB}(x,\xi)\sim\sum_\alpha\frac{1}{\alpha!}\partial^\alpha_{\xi}\sigma_A(x,\xi)\cdot \partial^\alpha_x\sigma_B(x,\xi) $$ donde la suma se realiza sobre todos los multiíndices posibles $\alpha\in\mathbb{Z}_+^n$ si $(x,\xi)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ . Por definición, un símbolo $\sigma$ es asintótica a una serie $\sum_{j=1}^\infty{\sigma_j}$ donde $\sigma_j\in S^{m_j}(\Omega),\;\Omega\subset\mathbb{R}^n$ y $m_j\rightarrow -\infty$ si para cada N se cumple la siguiente relación: $$ (\sigma-\sum_{j=1}^N\sigma_j )\in S^{\overline{m_{N+1}}}(\Omega),\;\overline{m_k}=\max[m_j\mid j\geq k]. $$

Se deduce fácilmente que dos símbolos asintóticos a la misma serie pueden diferir en no más de un símbolo de la clase $S^{-\infty}(\Omega)$ .