Demostrar que el conjunto de Cantor es cerrado (sin usar el hecho de que "la intersección de conjuntos cerrados es cerrada")

Question

Estoy tratando de probar que el conjunto de Cantor (C) es cerrado sin necesidad de utilizar el hecho de que "la intersección de conjuntos cerrados es cerrada". Mi prueba es como sigue.

Prueba: Vamos a $ \{x_{n}\} $ ser una secuencia de elementos de $ C $ tal que $ \{x_{n}\} $ converge para algunos $ x\in [0,1] $.

Observe que para cada $ n\in \mathbb{N} $, $ x_{n} $ puede ser escrito como $ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{x_{n,k}}{3^{k}} $ donde $ x_{n,k}\in \{0,2\} $ por cada $ k\in \mathbb{N} $.

Desde $ x\in [0,1] $ tenemos que $ x=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{x_{k}}{3^{k}} $ donde $ x_{k}\in \{0,1,2\} $ por cada $ k\in \mathbb{N} $.

Desde $ \{x_{n}\} $ converge a $ x $, para cada una de las $ k\in \mathbb{N} $ existe $ n_{k}\in \mathbb{N} $ tal que para cada $ n\geq n_{k} $, $ |x_{n}-x|<\frac{1}{3^{k}} $.

Esto implica para cada una de las $ k\in \mathbb{N} $ existe $ n_{k}\in \mathbb{N} $ tal que para cada $ n\geq n_{k} $, $ x_{k}=x_{n,k} $.

Por lo tanto, para cada $ k\in \mathbb{N} $, $ x_{k}\in \{0,2\} $ y, por tanto,$ x\in C $. Así, el conjunto de Cantor (C) es cerrado.

Alguien puede verificar mi prueba? Hay algo que falta? Es esta prueba dependen de la consideración de dos diferentes ternario de expansión de algunos números(puntos finales de la quita en el tercio medio de los intervalos en la construcción de C) de $[0,1]$?

Gracias por los comentarios.

Answer 1

Se nos dice usar la siguiente definición del conjunto de Cantor $C$: Un punto de $x\in[0,1]$ $C$ si tiene un ternario de expansión $x=\sum_{k=1}^\infty{d_k\over 3^k}$ todos $d_k\in\{0,2\}$.

Deje $x$ ser un punto de acumulación de a $C$. Tenemos que probar que $x\in C$. Asumir lo contrario. A continuación, $x$ tiene un ternario de expansión que contiene un primer dígito $d_r=1$, y no todos los dígitos subsiguientes $=0$ o todos los siguientes dígitos $=2$. De ello se desprende que hay números positivos $s$ $t$ con $$x=\sum_{k=1}^{r-1}{d_k\over 3^k}+3^{-r}+s=\sum_{k=1}^{r-1}{d_k\over 3^k}+2\cdot 3^{-r}-t\ .$$ Considere ahora una secuencia $n\to x_n\in C$$\lim_{n\to\infty} x_n=x$. Si $x_n<x$$x_n\leq \sum_{k=1}^{r-1}{d_k\over 3^k}+3^{-r}$, de donde $x-x_n\geq s$, y del mismo modo, si $x_n>x$$x_n-x\geq t$. De ello se desprende que la secuencia de $(x_n)_{n\geq1}$ no convergen a $x$.

Answer 2

Supongamos que (ternario) $x=0.1=0.0222...,$ a un punto del conjunto de cantor. Este punto de $x$ es abordado por la secuencia de $x_1,x_2,...=0.022,0.0222,0.02222,...$, e incluso a pesar de que cada término de la aproximación de la secuencia de todos 0 o 2, no es inmediato que la acercó número $x$ deben ser todos 0 o 2.

Este tipo de cosas pueden suceder solamente en los puntos para los cuales hay dos ternarios representaciones, pero IMO estos casos deben ser manejados. De lo contrario, la idea se parece a una prueba para mí.