La cotangente Campos: Exactitud versus Conservación

Question

Dado un suave colector.

A continuación, la cotangente de un campo es exacta iff conservador: $$\alpha\in\mathcal{X}^*(M):\quad\alpha=\mathrm{d}h\iff\oint\alpha=0$$ Cómo probar esto correctamente?

Answer 1

Esta prueba es tomada de Lee sin problemas de Colectores.

Considerar a una constante: $$h(x)=\int_z^x\alpha$$

Respecto suave coordinar ruta de acceso: $$\gamma:[0,\varepsilon)\to M:\quad\hat{\gamma}(t):=(0,\ldots,0,t,0,\ldots,0)\quad(\gamma(0)=z)$$ Así que uno obtiene como derivadas parciales: $$\frac{\partial h}{\partial x^i}(z)=\gamma'(0)h=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}(h\circ\gamma)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}\int_z^{\gamma(t)}\alpha\\=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}\int_0^t\alpha(\gamma'(s))\mathrm{d}s=\alpha(\gamma'(0))=\alpha^i(z)$$ (Este sobre todo muestra suavidad.)