Demostrando $ \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)^{^{2n+1}}}{t} \, dt= \frac{\pi (2n)!}{2^{2n+1}(n!)^2} $ con primaria cálculo?

Question

Hace tiempo me pregunté cómo integrar esto, pero la gente me respondió con temas avanzados, así que tengo esta duda, ¿es posible integrar este elementales de cálculo?

$$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)^{^{2n+1}}}{t} \, dt= \frac{\pi (2n)!}{2^{2n+1}(n!)^2} $$

Answer 1

Por el teorema del binomio: $$ \sin(t)^{2n+1} = \frac{(-1)^n}{4^n}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{2n+1}{k} \sin((2n+1-2k)t)$$ por lo tanto $$ \int_{0}^{+\infty}\left(\sin t\right)^{2n+1}\frac{dt}{t} = \frac{\pi(-1)^n}{2\cdot 4^n}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{2n+1}{k} $$ y recordando que, en el $\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\binom{2n+1}{k}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\binom{2n}{k}=0$ e invocando $\binom{2n+1}{k}=\binom{2n}{k}+\binom{2n}{k-1}$ y la simetría de los coeficientes binomiales, tenemos que $$ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{2n+1}{k}=(-1)^n\binom{2n}{n}, $$ así $$ \int_{0}^{+\infty}\left(\sin t\right)^{2n+1}\frac{dt}{t} = \frac{\pi}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n} $$ como se reivindica.