Función aditiva y multiplicativa.

Question

Tenemos $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y sabemos que $f$ son ambos aditivos: $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y multiplicativo: $f(xy)=f(x)f(y)$ y descubrí que esto significa que $f(x)=0$ para cualquier $x$ o $f(x)=x$ para cualquier $x$ pero no sé cómo probarlo. ¿Puede ayudarme? Sé que si $f$ es continua o monótona podemos demostrar lo que queremos sólo a partir de la primera relación, ¿está esto relacionado de alguna manera con la segunda relación?

Answer 1

Hay un truco estándar para esto. El esquema del argumento es

• $f$ mapea cuadrados a cuadrados
• $f$ mapea números no negativos a números no negativos (ya que son precisamente los cuadrados)
• $f$ es monótona creciente, ya que $x \leq y$ si $y-x$ no es negativo

Answer 2

La función cero es obviamente una coincidencia, así que supongamos que f es distinta de cero. Como f(1) = f(1)^2 encontramos f(1) = 0 o f(1) = 1. Si f(1) = 0 entonces se deduce por la propiedad multiplicativa que f = 0. Esto lleva a una contradicción por lo que podemos suponer que f(1) = 1, por aditividad f(n) = n para todo n en Z.

Observa: 1 = f(1) = f(r/r) = f(r) * f(1/r) por lo tanto f(1/r) = 1/f(r) para cada r en R.

Esto implica ahora que para todo q en Q: f(q) = q (utilizando que f(n) = n para todo n en Z). Esto a su vez implica que para r en R y {q_n} n en N y q_n en Q convergiendo a r que f(r) - r = f(lim q_n) - lim q_n = f(lim q_n) - f(lim q_n) = f(lim (q_n - q_n)) = f(0) = 0 por lo tanto f(r) = r.

Disculpe mi notación descuidada.