Función continua de Hölder

Question

$f:I \rightarrow \mathbb R$ se dice que es continua de Hölder si $\exists \alpha>0$ tal que $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|^\alpha$ , $ \forall x,y \in I$ , $0<\alpha\leq1$ . Demostrar que $f$ Continuo de Hölder $\Rightarrow$ $f$ uniformemente continua y si $\alpha>1$ entonces f es constante.

Para demostrar que $f$ Continuo de Hölder $\Rightarrow$ $f$ uniformemente continua, basta con observar que $|f(x)-f(y)| \leq M |x-y|^\alpha \leq M|x-y|$ ya que $\alpha \leq 1$ . Esto implica que f es Lipschitz $\Rightarrow$ f es uniformemente continua.

Pero ¿cómo puedo demostrar que si $\alpha >1$ entonces $f$ ¿es constante?

Answer 1

Pista:

Para algunos $\epsilon>0$ y todos $x\ne y$ , tienes $\Bigl|{f(x)-f(y)\over x-y}\Bigr|\le M|x-y|^\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$ .

¿Por qué $f'(x)$ ¿Existen? ¿Cuál es el valor de $f'(x)$ ?