Son composiciones de la transformada de Fourier de seno y coseno se transforma conmutativa?

Question

Es decir, ¿es cierto o falso que

$$\mathcal{F}_c(\mathcal{F}_s(f(x)))(\xi)\equiv\mathcal{F}_s(\mathcal{F}_c(f(x)))(\xi),$$

y si no lo son, a continuación, existen condiciones en $f$ para la que podría ser?

Me parece que no puede encontrar cualquiera de los documentos en línea acerca de las propiedades generales de la transformada de Fourier de seno y coseno se transforma (por el momento). Mi 7 ª edición de la Tabla de Integrales, Series y Productos solamente a los estados, las propiedades básicas.

Answer 1

Sí, que hacen el viaje. Definir $\mathcal F_-$ $\mathcal F_-(f)(\xi) = \mathcal F(f)(-\xi)$ donde $\mathcal F$ es el ordinario de la transformada de Fourier, $\mathcal F = \mathcal F_c + i\mathcal F_s$. Entonces $$ \mathcal F_c = {\mathcal F + \mathcal F_-\over 2},\quad \mathcal F_s = {\mathcal F - \mathcal F_-\over 2}. \etiqueta{1} $$ La transformada de Fourier de la inversión de la fórmula dice que $\mathcal F \mathcal F_- = \mathcal F_- \mathcal F$ es una constante múltiples de la identidad. Así, a partir de $(1)$ y el hecho de que $\mathcal F$ $\mathcal F_-$ viaje, se sigue que $$ \mathcal F_c\mathcal F_s = {\mathcal F^2 - \mathcal F_-^2\over4i} = \mathcal F_s\mathcal F_c. $$

Answer 2

Recordemos que el seno y el coseno se transforma están definidos por \begin{eqnarray} \mathscr{F}_c f(\omega) & = & \frac{2}{\pi} \int_0^\infty P_e f(t) \cos(\omega t) dt \\ \mathscr{F}_s f(\omega) & = & \frac{2}{\pi} \int_0^\infty P_o f(t) \sin(\omega t) dt \ , \end{eqnarray} donde \begin{eqnarray} P_e f(t) & = & \frac{1}{2}(f(t)+f(-t)) \\ P_o f(t) & = & \frac{1}{2}(f(t)-f(-t)) \ . \end{eqnarray} Supongamos ahora que $f$ es incluso. A continuación, $\mathscr{F}_c f$ es incluso y $\mathscr{F}_s \mathscr{F}_c f$ $0$ debido a la proyección de $P_o$ en la expresión de $\mathscr{F}_s$ mapas a $0$. A continuación, supongamos que $f$ es impar. A continuación, $\mathscr{F}_c f$ $0$ debido a la proyección de $P_e$ en la expresión de $\mathscr{F}_c$ mapas a $0$. Por lo tanto, también a$\mathscr{F}_s \mathscr{F}_c f$$0$. Ahora linealidad muestra que $\mathscr{F}_s \mathscr{F}_c f = 0$ cualquier $f$ siempre que ambas integrales de existir. Razonamiento Similar muestra que $\mathscr{F}_c \mathscr{F}_s f = 0$ cualquier $f$ siempre que ambas integrales de existir. Pero, sin embargo, la ecuación de $(\mathscr{F}_s \mathscr{F}_c f)(t) = (\mathscr{F}_c \mathscr{F}_s f)(t)$ es válido para cada $t \in \mathbb{R}$ siempre que sea necesario integrales de existir.