Encuentra el supremo $(0,1) \setminus \mathbb {Q}$ .

Question

Mi intuición me dice que $ A = (0,1) \setminus\mathbb {Q}$ no tiene supremacía. Pero no estoy seguro de si los siguientes argumentos son suficientes o si mi intuición está equivocada...

Tenemos que 1 es un límite superior de A, ya que: $$1 > a \quad \forall a \in A$$

entonces porque $ \mathbb {Q}$ es denso en $ \mathbb {R}$ existe un $q$ en $ \mathbb {Q}$ de tal manera que..: $$a < q < 1 \quad \forall a \in A$$

por lo que podemos encontrar un $r$ en $ \mathbb {Q}$ de tal manera que $$a < r < q \quad \forall a \in A$$

y el proceso se repite indefinidamente, por lo que nunca encontraremos un límite superior mínimo para el conjunto. Asumo que puedo usar algo similar para probar que $A$ no tiene un mínimo...

¡Se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Sospecho que tu problema es este: crees que el supremo de un conjunto $S$ debe pertenecer a $S$ . ¡Esto no es cierto! Si lo tiene en cuenta, creo que verá fácilmente lo que debe ser el supremo.

Por cierto, el supremacía es diferente de la máximo El máximo de un conjunto $S$ tiene que pertenecer a $S$ . Así que no todos los conjuntos delimitados tienen un máximo, aunque todos los conjuntos delimitados no vacíos tienen un supremo.

Answer 2

Tenemos que 1 es un límite superior de A, ya que: $$1 > a \quad \forall a \in A$$

Sí, esto es correcto.

entonces porque $ \mathbb {Q}$ es denso en $ \mathbb {R}$ existe un $q$ en $ \mathbb {Q}$ de tal manera que..: $$a < q < 1 \quad \forall a \in A$$

No tan rápido. Sí, $ \mathbb {Q}$ es denso en $ \mathbb {R}$ pero tienes los cuantificadores mezclados. Es cierto que para todos $a \in A$ existe $q \in \mathbb {Q}$ de tal manera que $a < q < 1$ . Lo que escribiste es que existe $q \in \mathbb {Q}$ de tal manera que para todos $a \in A$ , $a < q < 1$ . ¿Ves la diferencia? La segunda (falsa) afirmación afirma que hay un límite superior para $A$ menos de $1$ . La primera declaración (verdadera) afirma que no $a \in A$ es máxima.

Creo que lo que quieres decir es que para todos $x \in\mathbb {R}$ con $x<1$ existe $a \in A$ de tal manera que $x < a < 1$ .

Answer 3

El conjunto $A$ no está vacía y está delimitada arriba por $1$ . Por lo tanto, tiene una supremacía $ \sup A \le 1$ en $ \mathbb {R}$ . También puede verificar que $$1- \varepsilon < \sup A,$$ para todos $ \varepsilon > 0$ . Por lo tanto $$ \sup A = 1. $$