Prueba de Apostol sobre la convergencia uniforme y la continuidad

Question

Supongamos que $f_n\to f$ en $S$ de manera uniforme. Si cada $f_n$ es continua en $c\in S$ . Entonces la función límite $f$ también es continua en $c$ .

En la demostración se ha dicho que el teorema es obvio para un punto aislado. Es decir, si $c$ es un punto aislado, entonces $f$ es automáticamente continua en $c$ . Así que sólo consideramos los puntos de acumulación en la prueba. ¿Por qué es así?

Answer 1

Porque cada es continua en un punto aislado. Si $c$ es un punto de este tipo y $f$ es su función, diciendo que $f$ es continua en $c$ significa que $$(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in D_f):d(x,c)<\delta\implies d\bigl(f(x),f(c)\bigr)<\varepsilon.$$ Dejemos que $\varepsilon>0$ y tomar $\delta>0$ tal que $d(x,c)<\delta\implies x=c$ ; tal $\delta$ debe existir, ya que $c$ es un punto aislado. Pero entonces $$d(x,c)<\delta\implies x=c\implies d\bigl(f(x),f(c)\bigr)=0<\varepsilon.$$

Answer 2

Porque $c$ es un punto aislado, existe $\delta>0$ tal que $B(c,\delta)=\{c\}$ . Por lo tanto; \begin{equation} |f(x)-f(c)| = 0 < \epsilon \quad if \quad x\in B(c,\delta) \end{equation} donde $B(c,\delta)$ es la bola centrada en $c$ .