Existen algunos criterios generales para decidir sobre la irreductibilidad de polinomios? Por ejemplo, el uno en el título?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si este polinomio se fueron al factor, sería un factor en un polinomio de grado 2 y un polinomio de grado 1. \begin{align*} x^2 + y^2 + z^2 - xyz - 2 &= \big([\text{terms of degree } 2] + [\text{terms of degree } \le 1] \big) \\ &\quad \big([\text{terms of degree } 1] + [\text{terms of degree } \le 0] \big) \\ \end{align*} Los términos de grado $2$ en el primer factor y los términos de grado $1$ en el segundo factor debe multiplicar a $-xyz$. Por simetría en $x,y,$$z$, podemos suponer que son, por tanto,$-xy$$z$, respectivamente. $$ x^2 + y^2 + z^2 - xyz - 2= (-xy + ax + by + cz + d)(z + e) $$ Pero no es $x^2$ o $y^2$ término en el lado derecho, así que esto es imposible.
Método General
Algunos de discusión de esto en el caso de que el polinomio es irreducible sobre CUALQUIER campo, se puede encontrar aquí. También hay algunos trucos en el caso de dos variables aquí.
Un enfoque posible es considerar que cualquier polinomio $p(x,y,z)$ (en general, cualquier número de variables) como un polinomio en $x$ sobre el anillo de $\mathbb{Z}[y,z]$ (en general, $\mathbb{Z}$ podría ser una única factorización de dominio). Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}[y,z]$ es una única factorización de dominio de sí mismo, así que cosas como lema de Gauss, y Eisenstein aplicar. En este caso, tendríamos que tener $$ x^2 + (-yz) x + (y^2 + z^2 - 2) = (x + q_1(y,z))(x + q_2(y,z)) $$ para polinomios $q_1$$q_2$, lo que reduce el problema de la muestra $y^2 + z^2 - 2$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[y,z]$. A su vez se podría considerar el $y^2 + z^2 - 2$ como un polinomio en $y$ sobre el anillo de $\mathbb{Z}[z]$, para obtener $$ y^2 + z^2 - 2 = (y + r_1(z))(y + r_2(z)) $$ para polinomios $r_1$ $r_2$ en una variable. Entonces tenemos que $r_1(z) + r_2(z) = 0$, lo $r_1(z) = -r_2(z)$, por lo $z^2 - 2 = -r_1(z)^2$, lo $2 - z^2$ es un cuadrado perfecto. Así que tenemos $2 - z^2 = (az + b)^2$, y llegamos a la conclusión de $a^2 = -1$, $ab = 0$, y $b^2 = 2$. Esto es imposible, por supuesto, no solo en $\mathbb{Q}$, pero por encima de cualquier campo de la característica $ \ne 2$.
