Simplifique $\log_23\ \log_34\ \log_4 5\ \log_5 6\ \log_6 7\ \log_7 8$

Question

¿Cómo evalúo el producto?

$$\log_23\ \log_34\ \log_4 5\ \log_5 6\ \log_6 7\ \log_7 8$$

Sé que $$\log_ba=\frac{\log\ a}{\log\ b}$$

¿Cómo puedo aplicarlo?

Gracias.

Answer 1

Tienes todo lo que necesitas:

$$\log_n(n+1)=\frac{\log_2(n+1)}{\log_2n}\;,$$

así que

$$\begin{align*} \log_23\log_34\log_45\log_56\log_67\log_78&=\log_23\cdot\prod_{n=3}^7\left(\frac{\log_2(n+1)}{\log_2n}\right)\\ &=\frac{\prod_{n=3}^8\log_2n}{\prod_{n=3}^7\log_2n}\\ &=\log_28\\ &=3\;. \end{align*}$$

Answer 2

$$log_23\ log_34\ log_4 5\ log_5 6\ log_6 7\ log_7 8=\frac{\log 3}{\log 2}\frac{\log 4}{\log 3}\frac{\log 5}{\log 4}\frac{\log 6}{\log 5}\frac{\log 7}{\log 6}\frac{\log 8}{\log 7}=\frac{\log 8}{\log 2}=log_28=3$$

Answer 3

Sólo tienes que aplicar la regla que has indicado y escribir los términos, te darás cuenta de que todos los términos se anulan excepto el denominador del primero y el nominador del último.

Answer 4

Pista: $log_23=\frac{log3}{log2}, log_34=\frac{log4}{log3}$ y así sucesivamente, ¿encuentras algo sospechoso?

Answer 5

Pista: Su $\frac{log 3}{log 2}\cdots \frac{log 8}{log 7}$