Demostrar que, a $(2\cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 4000)-(1\cdot 3 \cdot 5 \cdot ...\cdot 3999)$ es un múltiplo de a $2001$

Question

Demostrar que la diferencia entre el producto de la primera de 2000 números y la primera $2000$ números impares es un múltiplo de a $2001$. Por favor, muestran que el método.

He empezado con el siguiente proceso:

$$(2\cdot 4 \cdot 6 \cdots 4000)-(1\cdot 3 \cdot 5 \cdots 3999)$$

Cómo podemos proceder a encontrar que es un múltiplo de a $2001$?

Answer 1

Sugerencia: muestre que $2001$ es un factor de ambos productos. Una de ellas es muy fácil. Por otro lado, hay que saber que $2001$ no es primo (usted debe ser capaz de detectar una fácil factor).

Answer 2

Tenemos $$2001=3\times 23 \times 29.$$ Ahora tenga en cuenta que $$\begin{align}2\cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 4000&=(2\times 1)\cdot (2 \times 2) \cdot (2 \times 3) \cdot ... \cdot (2\times 2000)\\ &=2^{2000}\times 1\cdot2\cdot3\cdot... \cdot23 \cdot ... \cdot 29 \cdot....\cdot2000 \end{align}$$ Por lo tanto, $2\cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 4000$ es un múltiplo de a $2001$. Ahora desde el otro número es el de la multiplicación de los números impares incluyendo $3$, $23$, y $29$, es también un múltiplo de $2001$. Por lo tanto, la diferencia es también un múltiplo de $2001$.

Answer 3

Trate de probar que es igual a $2001k_1 - 2001k_2$.

El producto de las probabilidades ha $2001$ como factor, por lo tanto puede ser escrito como $2001k_2$. Ahora, el producto de iguala ha $667$ $3$ como sus factores y, por tanto, $2001$ como factor.

Por lo $$2\cdot4\cdot6\cdot...\cdot4000 - 1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot3999 = 2001k_1 - 2001k_2 = 2001(k_1-k_2)$$