Una función completa $g$ tal que $|g(z^2)| \leq e^{|z|}$ y $g(m) = 0 \quad \forall m \in \mathbb{Z}$ es idéntico $0$

Question

He estado intentando resolver el siguiente ejercicio de una colección de antiguos exámenes de calificación de análisis complejo.

Supongamos que $g$ es una función entera que satisface la desigualdad $|g(z^2)| \leq e^{|z|}$ . Supongamos también que $g(m) = 0 \quad \forall m \in \mathbb{Z}$ . Entonces demuestre que $g(z) \equiv 0$ (es decir, que $g$ es idéntico $0$ ).

Así que lo que creo es que la desigualdad al poner $z^{1/2}$ me da $|g(z)| \leq e^{|z|^{1/2}}$ y esto significa que toda la función $g$ es de orden finito y su orden $\lambda = \lambda(g) \leq \frac{1}{2}$ . Entonces he estado mirando los teoremas básicos para las funciones enteras de orden finito pero no veo realmente si uno de ellos sería útil aquí.

Así que mi pregunta es ¿cómo puedo resolver este problema? ¿Es realmente útil mirar los teoremas para las funciones enteras de orden finito?

Answer 1

Desde $\mid g(z) \mid \leq exp(\mid z \mid^{\frac{1}{2}})$, $g$ tiene el crecimiento de la orden de $\leq \frac{1}{2}$, por definición, como usted correctamente la observación.
Si $g$ no el cero de la función y si $(z_k)_k$ fueron algunos de enumeración de su no-cero ceros, tendríamos para todos los $s\gt \frac{1}{2}$ (Stein-Shakarchi, Teorema 2.1, página 138) $$ \sum_k \frac{1}{\mid z_k \mid ^s } \lt \infty $$ In particular, taking $s=1$ and realizing that the positive integers are among the zeros $z_k$ de acuerdo con la declaración del ejercicio, tendríamos $$\sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n } \leq \sum_k \frac{1}{\mid z_k \mid } \lt \infty $$
Desde que la serie armónica en realidad diverge ( $\sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n }=\infty $ ) esto es falso, y debemos tener $g=0$.

N. B. La heurística básica de crecimiento del orden de una función es que el más rápido de la función crece, más ceros que tiene.
Un bebé es el caso de un polinomio: si su grado es $n$ crece como $\mid z\mid^n $e ha $n$ ceros.