Encontrar el área de color rojo

Question

Un círculo en un cuadrado de lado 10 y un cuadrante de círculo con un radio de 10 se superpone, como se muestra en la figura. Encontrar el color rojo de la zona.

$\hskip2.4in$

Supongo que podría encontrar el valor restando el área de los círculos de la de la plaza, pero no puedo debido a la superposición de la parte.

Answer 1

@Leun Parque

Me puede dar una aproximación en el caso de que no se puede obtener la respuesta exacta y que usted necesita alguna respuesta.

$ \frac{1}{2} \left(100-\left(\frac{100 \pi }{4}+14.6381259\, +\frac{1}{4} (100-25 \pi )\right)\right)\approx .7285$

Creo que se acerca.

O de la notificación de la pieza de la izquierda es el mismo que el rojo de la pieza. Ahora acaba de obtener los puntos de intersección del arco y el círculo y se integran entre las dos ecuaciones.

$\text{Area}=\int_0^{\frac{5}{4} \left(3-\sqrt{7}\right)} \left(5-\sqrt{10 x-x^2}\right) \, dx-\int_0^{\frac{5}{4} \left(3-\sqrt{7}\right)} \sqrt{20 x-x^2} \, dx=\frac{1}{4} (-25) \left(-6+\sqrt{7}+10 \pi -4 \tan ^{-1}\left(2+\sqrt{7}\right)-16 \tan ^{-1}\left(4+\sqrt{7}\right)\right)=0.7285058960783131$

lo cual está de acuerdo con mi aproximación.

Answer 2

La zona roja puede ser visto como un trapecio menos de un triángulo y circular dos sectores.

Dejando $O=(0,0)$ $B=(1,1)$ podemos obtener fácilmente por $$P=\left({\sqrt{7}-1\over4},{\sqrt{7}+1\over4}\right)\ ,$$, de modo que los ángulos de los dos sectores $$\alpha=\arcsin{\sqrt{7}-1\over4},\quad \beta=\arcsin{5-\sqrt{7}\over8}\ .$$ El triángulo $OAP$ área $${1\over2}\>\vec{OA}\>\wedge\>\vec{OP}={1\over2} \ (1,-1)\wedge\left({\sqrt{7}-1\over4},{\sqrt{7}+1\over4}\right)={\sqrt{7}\over4}\ ,$$ y el que abarca trapecio, obviamente, tiene área de ${3\over2}$.

Al final tenemos que multiplicar todo por $25$, por lo que obtenemos $${\rm red\ area}=25\left({3\over2}-{\sqrt{7}\over4}-{1\over2}\arcsin{\sqrt{7}-1\over4}-2\arcsin{5-\sqrt{7}\over8}\right)\doteq0.728506\ .$$

Answer 3

Un enfoque integral:

Llame a la zona roja de la $A$, entonces: $$ A = \{(x,y)^2 \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 10, 5 \le y \le 10, (x-10)^2+y^2 \ge 10^2, (x-5)^2 + (y-5)^2 \ge 5^2\}$$

(usted puede cambiar todos los $\le$$\lt$, si usted no quiere a "contar la frontera", eso no va a cambiar el resultado.) ¿Cómo llegué a esta fórmula? Así, las dos primeras condiciones que debería ser obvio. La fórmula de un círculo con un radio de $r$ centrada en $(x_0,y_0)$ $((x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2$ y el área roja es $above$ dos círculos.

El siguiente requiere un poco de conocimiento acerca de la integral de Lebesgue como Tonelli va a ser utilizado. Aunque espero que la mayoría de la misma debe ser comprensible con menos conocimientos.

El área de $A$$\int_A 1 \mathrm{d}(x,y)$.

$$ \int_A 1 \mathrm{d}(x,y) = \int_5^{10} \int_{\varphi(y)}^{10} 1 \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_5^{10} 10 - \varphi(y) \mathrm{d}y $$

donde $\varphi(y)$ da a los más pequeños a $x$ que $(x,y) \in A$. Esto es cierto debido a los límites superior e inferior de la $x$ $y$ valores.

Dos pasos restantes:

1. Encontrar $\varphi(y)$ todos los $y \in [5,10]$ A hacerlo, escribir las condiciones en la definición de $A$"$x \ge max(\dots,\dots)$".
2. Resolver la resultante de una dimensión integral. Honestamente no sé si esto es una tarea fácil, como no he hecho 1. (¿aún?). Esperemos que encontrar una anti derivada de aquí! (Usted debe ser capaz de asumir la integral es una integral de Riemann.)