Códigos binarios con gran distancia

Question

Supongamos que $C \subset \lbrace 0,1\rbrace^{n}$ es un código binario con distancia $\delta * n$ para $1/2 < \delta < 1$ . Puede $|C|$ sea arbitrariamente grande (si permito que n sea arbitrariamente grande)? Tenga en cuenta que el código Hadamard le da $\delta = 1/2$ .

Answer 1

No. Si tomamos $\{-1/\sqrt n,1/\sqrt n\}^n$ en lugar de $\{0,1\}^n$ el problema se reduce a preguntarnos si podemos tener muchos vectores unitarios $v_j$ con productos escalares por pares $-\gamma$ o menos cuando $\gamma>0$ es un número fijo. Pero si tenemos $N$ tales vectores, entonces el cuadrado de la norma de su suma es como máximo $N-\gamma N(N-1)$ . Como este cuadrado debe ser no negativo, obtenemos $N-1\le\gamma^{-1}$ independientemente de la dimensión.

Answer 2

Gama no tiene que ser negativo, de hecho si delta es menor que 1/2 gamma será positivo. Es conocido por Hadamard códigos que arbitrariamente grande, existen códigos, y que parece intuitivo que si la distancia entre los vectores debe ser más pequeño que el gran códigos deben existir todavía, pero no tengo una prueba