Me siento como que estoy básicamente reiterando lo que Dtseng dijo, pero tal vez esto va a aclarar algunas cosas.
Fix $X$ un esquema, y un conjunto de línea de paquetes de $L_1,\ldots,L_n$. Denotar $E = \bigoplus_{i=1}^n L_i$. Comience por dar a su gradual anillo de un nombre.
Definición. La sección de anillo o anillo de secciones de $L_1,\ldots,L_n$ se define como
$$R(X;L_1,\ldots,L_n) := \bigoplus_{i_j \in \mathbf{N}^n} H^0\!\left(X,L_1^{\otimes i_1} \otimes L_2^{\otimes i_2} \otimes \cdots \otimes L_n^{\otimes i_n}\right).$$
El original de referencia para la sección de anillos es [EGAII, 4.5], pero también recomiendo [PAGI, §2.1] y [dFEM, §1.8].
Necesitaremos el siguiente Lema en las dos secciones siguientes:
Lema. Hay una descomposición
$$\operatorname{S}(E) \cong \bigoplus_{i_j \in \mathbf{N}^n} L_1^{\otimes i_1} \otimes L_2^{\otimes i_2} \otimes \cdots \otimes L_n^{\otimes i_n},$$
donde $\operatorname{S}(E) = \bigoplus_{d \ge 0} \operatorname{S}^d(E)$ denota el álgebra simétrica de $E$. En particular, hemos
$$H^0\!\left(X,\operatorname{S}(E)\right) \cong R(X;L_1,\ldots,L_n).$$
Prueba. Tenemos la siguiente cadena de isomorphisms:
$$
\operatorname{S}(E) \cong \bigotimes_{i=1}^n \operatorname{S}(L_i)
= \bigoplus_{i_j \in \mathbf{N}^n} \operatorname{S}^{i_1}L_1 \otimes \operatorname{S}^{i_2}L_2 \otimes \cdots \otimes \operatorname{S}^{i_n}L_n \cong \bigoplus_{i_j \in \mathbf{N}^n} L_1^{\otimes i_1} \otimes L_2^{\otimes i_2} \otimes \cdots \otimes L_n^{\otimes i_n}
$$
La primera isomorfismo de la siguiente manera por el uso de la característica universal para simétrica álgebras: ver [EGAII, 1.7.1], o simplemente tenga en cuenta que este es el vector de paquete de la versión de [Lang, XVI, Prop. 8.2]. La segunda igualdad es sólo por definición. La última isomorfismo es una consecuencia del hecho de que para una línea de paquete de $L$, $L^{\otimes n} \overset{\sim}{\to} \operatorname{S}^n L$ (una forma de ver esto es que el canónica mapa de izquierda a derecha es surjective, y ambos paquetes tienen el mismo rango, por lo que el mapa debe ser un isomorfismo).
La última pretensión de la siguiente manera tomando global secciones en ambos lados. $\blacksquare$
Ahora podemos responder a su pregunta en forma afirmativa, en algunos casos, que abarca sus ejemplos. Recordar que si $E = \bigoplus_{i=1}^n L_i$, por definición [Hartshorne, II, §7], tenemos
$$\mathbf{P}(E) = \operatorname{\mathbf{Proj}}\!\left( \operatorname{S}(E) \right)$$
donde $\mathbf{Proj}$ es la relativa Proj construcción a lo largo de $X$.
$X$ un esquema afín, $L_i$ arbitrarias
Supongamos $X$ es un esquema afín. A continuación, la prueba de su declaración es bastante corto:
La proposición. Tenemos un isomorfismo
$$\mathbf{P}(E) \cong \operatorname{Proj}\!\left(R(X;L_1,\ldots,L_n)\right).$$
Prueba. En el afín caso, para cualquier graduado cuasi coherente $\mathcal{O}_X$-álgebra $\mathscr{S}$, tenemos
$$\operatorname{\mathbf{Proj}}(\mathscr{S}) \cong \operatorname{Proj}\!\left(H^0(X,\mathscr{S})\right)$$
por la construcción de relativo $\operatorname{\mathbf{Proj}}$. En nuestro caso, dejando $\mathscr{S} = \operatorname{S}(E)$, $H^0\!\left(X,\operatorname{S}(E)\right) = R(X;L_1,\ldots,L_n)$ por el Lema, y por lo que el isomorfismo de la siguiente manera por la definición de $\mathbf{P}(E)$. $\blacksquare$
$X$ normal completa variedad de más de un campo $k$, $L_i$ amplio
Supongamos $X$ es normal completa variedad de más de un campo $k$. Se utiliza por primera vez el Lema anterior para reducir al caso en el $n = 1$, es decir, sólo hay una línea de paquete.
Lema. Considerar el espacio proyectivo bundle $\mathbf{P}(E)$. Entonces, tenemos un isomorfismo de $k$-álgebras
$$R(X;L_1,\ldots,L_n) \cong R\!\left(\mathbf{P}(E);\mathcal{O}_{\mathbf{P}(E)}(1)\right).$$
Prueba. Deje $\pi\colon \mathbf{P}(E) \to X$ denotar la proyección de morfismos. Por [EGAIII, Prop. 2.1.15] o [AVB, Lem. 3.1], hay una gradual isomorfismo de álgebras de
$$\operatorname{S}(E) \cong \bigoplus_{d \ge 0} \pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(E)}(1))$$
y tomando global de las secciones de los rendimientos de $R(\mathbf{P}(E);\mathcal{O}_{\mathbf{P}(E)}(1))$ sobre el lado izquierdo. El anterior Lema da la mano derecha. $\blacksquare$
Podemos concluir:
La proposición. Si $L_1,\ldots,L_n$ son amplias, luego
$$\mathbf{P}(E) \cong \operatorname{Proj}\!\left(R(X;L_1,\ldots,L_n)\right).$$
Prueba. Por el Lema anterior, es suficiente para mostrar
$$\mathbf{P}(E) \cong \operatorname{Proj}\!\left(R\!\left(\mathbf{P}(E);\mathcal{O}_{\mathbf{P}(E)}(1)\right)\right).$$
Por [AVB, Lem. 2.2] o [PAGII, Prop. 6.1.13(i)], tenemos que $E$ es un amplio vector paquete, y por lo $\mathcal{O}_{\mathbf{P}(E)}(1)$ es suficiente. Por lo tanto, la Proposición se reduce a mostrar el siguiente
La reclamación. Si $Y$ es normal completa variedad de más de un campo $k$, e $L$ es una amplia línea de paquete en la $Y$, luego
$$Y \cong \operatorname{Proj}\!\left(R(Y;L)\right).$$
y de su aplicación a $Y = \mathbf{P}(E)$, $L = \mathcal{O}_{\mathbf{P}(E)}(1)$, desde $\mathbf{P}(E)$ es normal si $X$ es. Puedo carne de los detalles de la Demanda, si quieres, pero no es ya una prueba de Matemáticas.SE el uso de Serre de fuga, y también se puede demostrar mediante el uso de [Hartshorne, II, Exc. 5.13–14]. También puedes mirar este otro de Matemáticas.SE la respuesta. $\blacksquare$
Voy a terminar diciendo que incluso si $n = 1$, si debilitamos la condición de a $L$ semi-amplio, que es, $L^{\otimes m}$ a nivel mundial es generado por todos los $m \gg 0$, el isomorfismo no se sostiene. La situación es que hay un canónica de morfismos $f\colon X \to \operatorname{Proj}\!\left(R(X;L)\right) =: Y$ tal que $f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y$, pero la de morfismos es sólo birational: una curva de $C \subset X$ es contratado si y sólo si $(L \cdot C) = 0$. Ver [dFEM, Rem. 1.8.5] de esta afirmación. Podemos ilustrar esto con un hormigón
Ejemplo. Deje $X = \operatorname{Bl}_0\mathbf{P}^2$ ser el golpe de $\mathbf{P}^2$ en el origen, y considerar la posibilidad de $L = \mathcal{O}_X(\ell)$ la línea de paquete correspondiente a la estricta transformar de una línea de $\ell$$\mathbf{P}^2$, no pasa a través de $0$. A continuación, $L$ es semi-amplio (desde $\lvert \ell \rvert$ es ya la base de punto libre), pero no suficiente, ya $(L \cdot E) = 0$ donde $E$ es el divisor excepcional. Por otra parte,
$$R(X;L) = \bigoplus_{d \ge 0} H^0(X,L^{\otimes d}) = \bigoplus_{d \ge 0} H^0\!\left(X,\mathcal{O}_X(d\ell)\right) = \bigoplus_{d \ge 0} H^0\!\left(\mathbf{P}^2,\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(d\ell)\right) \cong k[x_0,x_1,x_2],$$
pero, ciertamente, $\operatorname{Bl}_0\mathbf{P}^2 \not\cong \operatorname{Proj}(k[x_0,x_1,x_2]) = \mathbf{P}^2$ (ya que, por ejemplo, $\operatorname{Bl}_0\mathbf{P}^2$ $(-1)$- mientras que la curva de $\mathbf{P}^2$ no).
