Vamos $$C:=X^2+Y^2-Z^2$$ ser una variedad proyectiva en $\Bbb P^2$. ¿Cuáles son todos los morfismos $C\to C$ ?
De manera más general, ¿cómo hace uno para encontrar todos los morfismos de una variedad determinada a sí mismo?
Relacionado: también me gustaría saber si algún software puede calcular esto.
Alternativamente, también me gustaría aceptar una respuesta que da una referencia completa que puedo seguir.
Definiciones:
Deje que el campo se $K=\Bbb Q$. El anillo de coordenadas de $C$ es $$K[C]=K[X,Y,Z]/(X^2+Y^2-Z^2)$$ with function field $K(C)=\text{"}(K[C])$. A rational map $\phi\in K(C)$ is regular at $P\in C$ if $\phi(P)$ is defined. $\phi$ is a morphism if it is regular at every $P\in C$. i.e. $\phi(C)\subseteq C$. In particular, $\phi=F/G$ where $F,G\en K[C]$ son homogéneos polinomios del mismo grado.
Algunos trabajos:
$C$ es sólo el grupo de puntos racionales en el círculo. Ellos forman un grupo abelian con el grupo la ley $$(x_1,y_1,z_1)\oplus(x_2,y_2,z_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1,z_1z_2)$$ de modo que $N=(1,0,1)$ es la identidad. De manera similar a las curvas elípticas, podemos definir a la $\phi=[m]$ a ser la multiplicación por $m$ mapa y $\phi$ es una de morfismos por las definiciones anteriores. Por ejemplo, supongamos $m=3$: $$\requieren{encerrar} \encerrar{horizontalstrike}{[3](x,y,z)=(x^2-y^2,2 xy,z^2)\oplus(x,y,z)=(x^4-6 x^2 y^2+y^4,4 x y (x^2-y^2),z^4)}$$ Edit_1:
$$[3](x,y,z)=(x^2-y^2,2xy,z^2)\oplus(x,y,z)=(x^3-3 x y^2,3 x^2 y-y^3,z^3)$$ y es fácil comprobar que $\phi$ está definido para todos los $P\in C$.
Claramente también podemos componer dos morfismos, por lo que es suficiente para encontrar a los "diferentes tipos".
Otro de morfismos puede ser una traducción. Fijar un $Q\in C$, y luego definir \begin{align*} \phi: C &\to C\\ P &\mapsto P\oplus Q \end{align*} Está claro que $\phi(P)\in C$, y se define, por lo que este parece que funciona.
La pregunta principal es: ¿hay otro tipo de morfismos y ¿cómo puedo encontrar a todos ellos? El sólo hecho conocido para mí sería que cualquier morfismos $\phi:C\to C$ es constante o surjective.
Algunas ideas:
En el caso de una curva elíptica, si queremos establecer$\phi(\mathcal O)=\mathcal O$, $\phi$ es un isogeny. Se sabe que esto obliga a $\phi$ a ser endomorphisms y el endomorfismo anillo contiene $\Bbb Z$ debido a las multiplicaciones escalares $[m]$. Pero también puede ser compleja multiplicación cuando el endomorfismo anillo es mayor que $\Bbb Z$. Es posible que algo similar suceda aquí? He de hacer notar que si considero $\Bbb Q(i)$, luego \begin{align*} \phi: C &\to C\\ (x,y,z) &\mapsto (x,iz,y) \end{align*} me da algo similar. Tenga en cuenta que $$x^2+(iz)^2+y^2=x^2-z^2+y^2=0$$ Gracias por leer!
