Soluciones a $|z+1-i\sqrt{3}|=|z-1+i\sqrt{3}|$

Question

Encontrar todos los números complejos $z$ satisfactorio \begin{equation} |z+1-i\sqrt{3}|=|z-1+i\sqrt{3}| \end{equation} He intentado utilizar $z=a+bi$, a continuación, utilizando la fórmula para el valor absoluto: \begin{equation} |(a+1)+i(b-\sqrt{3})|=|(a-1)+i(b+\sqrt{3})|\\ \sqrt{(a+1)^2+(b-\sqrt{3})^2}=\sqrt{(a-1)^2+(b+\sqrt{3})^2} \end{equation} Es este el camino correcto a seguir? Debo resolver para b o de a, y en ese caso ¿qué es lo que me dicen acerca de las posibles soluciones? Cualquier ayuda se agradece.

Actualización: Resolver la ecuación de $y$, consiguió \begin{equation} y=\frac{x}{\sqrt{3}} \end{equation} Esto significa que la ecuación se satisface para todos los números complejos en la línea $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$?

Answer 1

Sí, esta es una forma correcta de abordar el problema. Elevando al cuadrado cada lado de su última línea y simplificando, se obtiene:

$$ 4a - 4\sqrt{3}b = 0 \Rightarrow a = \sqrt{3} b.$$

Así el conjunto que está buscando consiste de todos los números complejos $z = a + bi$ tal que $a = \sqrt{3}b$, que en el plano complejo es una línea recta.

Esto era de esperar, debido a que la ecuación puede escribirse como $$ |z - (-1 + i\sqrt{3})| = |z - (1 - i\sqrt{3})|,$$ de donde el problema puede ser resuelto geométricamente: usted está buscando para los puntos del plano complejo a la misma distancia de a$(-1 + i\sqrt{3})$$(1-i\sqrt{3})$.

Answer 2

Escribir

$|z-(-1+i\sqrt{3})|=|z-(1-i\sqrt{3})|$

Este es el lugar geométrico de todos los $z$ que su diatance desde dos puntos de $A=-1+i\sqrt{3}$ $B=1-i\sqrt{3}$ es igual. Es mitades, el fragmento de $AB$ que debería ser $y=\sqrt{3}x$.

Answer 3

Sugerencia-

Usted está en el camino correcto. Cuadrado ambos lados para encontrar a, b.

Answer 4

Sugerencia: Plaza de la ecuación y de reescritura de la plaza de los valores absolutos como el producto del número complejo y su conjugado complejo.

Por ejemplo supongamos $w=1-i\sqrt{3}$, entonces podemos reescribir:

$|z+w|=|z-w| \implies |z+w|^2=|z-w|^2 \implies (z+w)(z^*+w^*)=(z-w)(z^*-w^*).$

Esto puede ser reescrita como:

$$zz^*+wz^*+zw^*+ww^*=zz^*-wz^*-zw^*+ww^*$$ $$wz^*+zw^*=-wz^*-zw^* \implies 2wz^*=-2zw^* \implies wz^*=zw^*$$

Ahora conecte $z = x+iy$$w=1-i\sqrt{3}$. Debe ser fácil de resolver desde aquí.

Answer 5

$$ |z + 1 - i\sqrt{3}| = |z - 1 + i\sqrt{3}| \\ \implica que |z - (-1 + i\sqrt{3})| = |z - (1 - i\sqrt{3})| $$

Si me tome $z_0 = 1 - i\sqrt{3}$, entonces la ecuación

$$ |z - (-z_0)| = |z - z_0| $$

describe la bisectriz perpendicular de la recta línea que une los puntos de $P(z_0)$$Q(-z_0)$. Lo que está claro es que la línea pasa a través del origen. La pendiente de $PQ$ es

$$ m_{PQ} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{-1-1} = -\sqrt{3}. $$

Por lo tanto, una línea perpendicular a $PQ$ tiene una pendiente $1/\sqrt{3}$. La línea es, pues,

$$ y = \frac{x}{\sqrt{3}} \\ \implica \sqrt{3}y = x. $$