Demostrar que $f$ es creciente si y sólo si la desigualdad se cumple

Question

Deje $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ ser una función continua. Demostrar que $f$ es creciente si y sólo si: $$\int_a^b f(x) dx \leq bf(b) - af(a), \, \forall \, \, 0 \leq a \leq b$$

No tengo dificultades en demostrar que los si $f$ es creciente, entonces la desigualdad se cumple. Pero no he averiguado todavía como para demostrar que de la otra manera, que es saber la desigualdad y demostrando que $f$ es cada vez mayor.

Gracias!

Answer 1

Demostrar que la ecuación integral que implica que $f$ está aumentando a través de la contraposición, viz. probar que si $f$ no está aumentando, a continuación, existen $a_0$ $b_0$ tal que $$\int_{a_0}^{b_0} f(x) dx > b_0f(b_0) - a_0f(a_0).$$

De hecho, si $f$ es diferenciable, no aumenta y no siempre es constante, entonces existe un intervalo de $[a_0, b_0]\in\mathbb{R^+}$ tal para todos los $x\in [a_0, b_0]$ tenemos que $$f(a_0)\geq f(x) \geq f(b_0)\mbox{ and } f(a_0)> f(b_0).$$ Por lo tanto, tenemos que $$\int_{a_0}^{b_0} f(x) dx \geq f(b_0)(b_0 - a_0)= f(b_0)b_0 - f(b_0)a_0 > f(b_0)b_0 -f(a_0)a_0.$$

Answer 2

SUGERENCIAS:

Muestran que, WLOG, podemos suponer $a = 0$. Trabajo con

$$\int_0^{b} f(x)dx \leq bf(b)$$

Se debe hacer el resultado más claro.

Answer 3

Tenga en cuenta que si $f(a) > f(b) $ entonces, por la continuidad podemos optar $c\in(a, b] $ tal que $f(x) > f(c) $ todos los $x\in [a, c) $ y por lo tanto $$\int_{a} ^{c} f(t) \, dt>(c-a) f(c) $$ And given condition on $f$ implies that integral above is not greater than $cf(c) - af(a) $. It now follows that $f(a) <f(c) $ which is contrary to $f(a) >f(c) $. Thus we must have $f(a) \leq f(b) $.