Pregunta teórica sobre la unidad imaginaria "j" (análisis de circuitos de CA)

Question

Acabo de empezar a aprender sobre el análisis de redes de CA y tengo algunas preguntas sobre la "j" (o "i" en mi calculadora), la unidad imaginaria. En mi libro no se habla mucho de esto, y se pasa directamente a las fórmulas y sustituciones (enfoque más práctico, no teórico). Entonces, ¿qué representa exactamente J?

Veo que si dibujo un plano complejo (el eje y es imaginario, el eje x es real), y trazo una circunferencia unitaria en él, un ángulo de 90° es \$\sqrt{-1}\$ que es "j". Veo que puedo utilizar esta sustitución en forma fasorial cuando, por ejemplo, resuelvo la tensión a través de un condensador cuando se conoce la corriente que lo atraviesa:

$$V = \frac{I}{j \omega C}$$

¿Puede alguien ayudarme a entender esto?

Para ser honesto, esta pregunta es bastante vaga porque ni siquiera estoy seguro de cómo preguntar sobre lo que es J; es tan extraño para mí. Me gustaría una explicación de sentido común (a grandes rasgos) de su significado y propósito en el análisis de circuitos de CA. No busco necesariamente una explicación matemática rigurosa (aunque cualquier explicación matemática necesaria es bienvenida).

Answer 1

Si pones un signo menos delante del número "5" se convierte en "-5".

Intenta ver esto de otra manera. Intenta pensar que gira el número "5" (atado al origen por un trozo de cuerda de longitud 5) 180 grados para convertirse en "-5"

¿Está bien hasta ahora? Los signos negativos son lo mismo que girar 180 grados...

Por qué no ampliar esto para producir algo que se pueda "pegar" delante de un número positivo que lo gire 90 grados - en EE esto se suele llamar "j" y actúa para girar un valor (sobre el origen) 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj, es decir, si lo haces dos veces (j*j) obtendrás 180 grados ("-").

A partir de esta joya de conocimiento se puede decir que j*j = -1 por lo tanto, j = \$\sqrt{-1}\$

Al igual que un signo menos puede girar cualquier valor positivo a 180 grados, puede girar cualquier vector o fasor a 180 grados. Lo mismo ocurre con el operador j - gira cualquier vector o fasor a 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj.

EDITAR - olvidé parte de la pregunta: -

sustituyendo j por la impedancia de un condensador. Recuerda que la fórmula básica de un condensador es Q=CV y, por tanto, diferenciando las variables obtenemos -

\$ I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}\$

Esto nos dice que para una tensión sinusoidal aplicada a través de un condensador, la corriente será también una onda sinusoidal pero diferenciada en un coseno así: -

Si intentas calcular la impedancia (V/I) de un condensador a partir de la relación V-I te meterás en problemas porque cuando I pasa por cero, V NO es cero por lo que obtienes infinitos. Si, por el contrario, aplicas una "j" para poner la corriente en fase con la tensión, las matemáticas funcionan bien: la corriente y la tensión están alineadas y la impedancia basada en los valores instantáneos de V/I tiene sentido.

Soy consciente de que estáis empezando, así que he intentado que sea preciso y sencillo (¿quizá demasiado sencillo para algunos?).

Si miras el inductor, la "j" se puede aplicar al voltaje para alinearlo con la corriente, por lo que "j" está en el numerador para la reactancia inductiva y j está en el denominador para la reactancia capacitiva. Hay sutilezas que espero que tengan sentido a medida que aprendas más. En realidad, no es una coincidencia que "j" parezca "seguir" a omega cuando se trata de impedancias.

Answer 2

En matemáticas puras utilizamos \$ i \$ para representar la raíz cuadrada primera de \$-1\$ .

La otra raíz cuadrada de \$-1\$ ser \$-i\$ .

Si imaginas una recta numérica con números reales colocados horizontalmente. Ahora podemos añadir una segunda recta numérica que vaya en vertical y que contenga los números imaginarios.

Ahora hemos creado un sistema de complejos donde cada punto del plano está representado por una parte real y otra imaginaria, por ejemplo \$ 4 + 3i\$ representa un punto que está 4 unidades a lo largo del eje real y 3 unidades arriba del eje imaginario.

Dado que un punto en un espacio bidimensional puede representarse ahora como un único número, los cálculos con vectores bidimensionales se simplifican.

En electrónica, cuando se consideran sistemas alimentados por una onda sinusoidal de una sola frecuencia, se nos enseña inicialmente a dibujar diagramas de fasores. Luego, a utilizar números complejos para llegar a tratar estos problemas.

También utilizamos \$ j \$ en lugar de \$ i \$ pero el significado es idéntico. Es sólo para evitar la confusión porque en la electrónica \$i\$ se utiliza a menudo para la corriente.

Si quieres saber un poco más, echa un vistazo a esta pregunta: ¿Qué son los números imaginarios? de la Matemáticas Stack Exchange sitio.

O eche un vistazo aquí: Una guía visual e intuitiva de los números imaginarios .

Answer 3

En matemáticas alguien hizo la pregunta:

¿Cuál es la solución de x^2 = -1?

Inventaron un número y dijeron que lo llamaran "j".

Han calculado las consecuencias de hacer esto. Comprobaron que no conducía a ninguna contradicción en el ámbito de las matemáticas existentes.

Tenga en cuenta que podría pensar: "vale, ¿por qué no introducir una carta cada vez que tenga algo irresoluble? Simplemente llamaré a 1/0 = f".

Pruébalo. No siempre funciona porque las reglas aritméticas existentes se rompen. Por ejemplo puedes demostrar que definir 1/0 = f te permite demostrar que 1=2, o 1=3, ...

Así que matemáticamente funciona y no ha llevado a ninguna contradicción. De repente tenemos una forma de "meter" dos informaciones en un solo número debido a la forma en que se puede representar un número complejo: en un plano real/imaginario. De repente podemos manipular un NÚMERO que contiene tanto la magnitud como la fase de la misma manera que manipulamos los "números regulares". Esto es muy útil.

En electrónica es muy cómodo poder meter dos datos en un solo número. Así que es muy conveniente hacer uso de los números complejos. Eso es todo. Resulta que queremos registrar tanto una magnitud como una fase. Esta herramienta matemática, que en muchos sentidos se ha inventado de la nada, pero que no rompe ninguna regla, nos permite hacer precisamente eso. Así que vamos a utilizarla.

Answer 4

En matemáticas la unidad imaginaria es un número muy útil para resolver ecuaciones de orden superior a 2. Se introdujo justo.... a la prueba, y funciona bastante hasta hoy. Permite obtener al menos una raíz en cada polinomio.

En electrónica la unidad imaginaria representa la energía almacenada en nuestro circuito. Así, en el condensador, es la energía almacenada en él. También representa el cambio de fase en el circuito, cuando se trata de señales sinusoidales.

Creo que deberías precisar más tu pregunta, o simplemente escribir las preguntas que te molestan en puntos.

Por ejemplo... Si la impedancia de su circuito será representada sólo por la unidad imaginaria, no por la real, su factura de energía será... cero :)