Integral definida $\int_0^1 \left \{\frac{1}{x^\frac{1}{6}} \right\}\, dx$

Question

Las llaves significan 'FractionalPart' que, creo, se define como { ${x}$ } $=x-\lfloor x \rfloor$ donde $x \in \mathbb{R}$ .

Mi mejor aproximación hasta ahora es: .182657 , sin embargo, sospecho que hay una expresión de forma cerrada para esta integral definida. Mi aproximación se logró mediante el uso de un límite inferior de .00000001 (un poco a la derecha de 0) con un programa de gráficos.

Answer 1

La integral es igual a

$$\int_0^1 dx \, x^{-1/6} - \int_0^1 dx \lfloor x^{-1/6} \rfloor $$

Centrémonos en la segunda integral. Obsérvese que cuando $x \in \left [(n+1)^{-6},n^{-6} \right ]$ , $\lfloor x^{-1/6} \rfloor = n$ . Así,

$$\begin{align} \int_0^1 dx \lfloor x^{-1/6} \rfloor &= \sum_{n=1}^{\infty} n \left [\frac1{n^6} - \frac1{(n+1)^6} \right ] \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac1{n^5} - \frac1{(n+1)^5} \right ] + \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(n+1)^6} \\ &= 1+\zeta(6)-1\\ &= \frac{\pi^6}{945} \end{align}$$

Por lo tanto, la integral es igual a

$$\int_0^1 dx \lbrace x^{-1/6} \rbrace = \frac65 - \frac{\pi^6}{945}$$

que se comprueba numéricamente.

Answer 2

Sea $g_m =\int_0^1 \{x^{-1/m}\} dx $ .

Recibo $g(m) =\dfrac{m}{m-1}-\zeta(m) $ .

He aquí cómo.

Quiero particionar $[0, 1]$ en intervalos en los que $\{x^{-1/m}\} $ está entre dos números enteros consecutivos, y luego sumar la integral sobre estos intervalos.

Así que.., para cada entero positivo $n$ , Quiero $n = x^{-1/m} $ o $x =\frac1{n^m} $ .

Sea

$\begin{array}\\ g_{m, n} &=\int_{\frac1{(n+1)^m}}^{\frac1{n^m}} \{x^{-1/m}\} dx\\ &=\int_{\frac1{(n+1)^m}}^{\frac1{n^m}} (x^{-1/m}-n) dx\\ &=\int_{\frac1{(n+1)^m}}^{\frac1{n^m}} x^{-1/m}dx -n(\frac1{n^m}-\frac1{(n+1)^m})\\ &=\dfrac{x^{1-1/m}}{1-1/m}\big|_{\frac1{(n+1)^m}}^{\frac1{n^m}} -(\frac{n}{n^{m}}-\frac{n}{(n+1)^{m}})\\ &=\dfrac{m}{m-1}x^{(m-1)/m}\big|_{\frac1{(n+1)^m}}^{\frac1{n^m}} -(\frac{1}{n^{m-1}}-\frac{n+1-1}{(n+1)^{m}})\\ &=\dfrac{m}{m-1}(\frac1{n^{m-1}}-\frac1{(n+1)^{m-1}}) -(\frac{1}{n^{m-1}}-\frac{1}{(n+1)^{m-1}}+\frac{1}{(n+1)^{m}})\\ &=(\dfrac{m}{m-1}-1)(\frac1{n^{m-1}}-\frac1{(n+1)^{m-1}}) -\frac{1}{(n+1)^{m}}\\ &=\dfrac{1}{m-1}(\frac1{n^{m-1}}-\frac1{(n+1)^{m-1}}) -\frac{1}{(n+1)^{m}}\\ \end{array} $

Por lo tanto

$\begin{array}\\ g_m &=\sum_{n=1}^{\infty} g_{m, n}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} (\dfrac{1}{m-1}(\frac1{n^{m-1}}-\frac1{(n+1)^{m-1}}) -\frac{1}{(n+1)^{m}})\\ &=\dfrac{1}{m-1}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac1{n^{m-1}}-\frac1{(n+1)^{m-1}}) -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{m}})\\ &=\dfrac{1}{m-1}-(\zeta(m)-1)\\ &=\dfrac{m}{m-1}-\zeta(m)\\ \end{array} $

Para $m=6$ , Wolfy dice que esto es $0.182656938015... $ , así que esto tiene una buena oportunidad de ser correcto,