Demostrar $ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)+ \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) = -1 $

Question

$$ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)+ \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) = -1 $$

Wolframalpha, demuestra que es una identidad correcta, aunque no puedo demostrarlo.

He intentado utilizar la fórmula $$ \cos(z) = \frac{e^ {iz} - e^ {iz}}{2} $ $ , pero sin ningún resultado satisfactorio.

Este ejercicio es de un capítulo de la serie.

EDIT: he corregido un error en la fórmula que quería utilizar.

Answer 1

Si $z^{5}-1=0$, luego $$(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)(z-1)=0,$$ because $z^{5}-1=(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)(z-1)$. This implies that $$ z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$$ or $z-1=0$. Desde \begin{equation*} z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}=e^{i2\pi /5}\ne 1 \end{ecuación*} es una raíz de $z^5-1=0 $ y \begin{equation*} z^{k}=\cos \frac{2k\pi }{5}+i\sin \frac{2k\pi }{5}=e^{i2k\pi /5}, \end{ecuación*} para $k\in \left\{ 1,2,3,4\right\} $, tenemos \begin{eqnarray*} 0 &=&z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=\left( \cos \frac{8\pi }{5}+i\sin \frac{8\pi }{5}% \right) +\left( \cos \frac{6\pi }{5}+i\sin \frac{6\pi }{5}\right) +\cdots +1 \\ &=&\left( \cos \frac{8\pi }{5}+\cos \frac{6\pi }{5}+\cdots +1\right) +i\left( \sin \frac{8\pi }{5}+\cos \frac{6\pi }{5}+\cdots +\sin \frac{2\pi }{% 5}\right) . \end{eqnarray*} Así \begin{equation*} \cos \frac{8\pi }{5}+\cos \frac{6\pi }{5}+\cdots +1=0. \end{ecuación*}

Answer 2

También puede utilizar que

$$2\sin(x)\Bigl[\cos 2x+\cos 4x + \cos 6x+\cos 8x\Bigr] = \sin 9x-\sin x = 2\cos 5x\sin 4x$$

de modo que la inserción de $x=\tfrac\pi5=\pi-4\tfrac\pi5$ se obtiene el resultado deseado.

Answer 3

Deje $\zeta_n = e^{2\pi i/n} = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ser una primitiva $n^{\rm th}$ raíz de la unidad, por lo que, en particular, las raíces de $z^5 - 1$$\zeta_5^k$$k = 0, 1, 2, 3, 4$. Ya que la suma de las raíces de un polinomio de grado $n$ es igual al negativo del coeficiente de la licenciatura $n-1$ plazo, se deduce que el $$\sum_{k=0}^4 \zeta_5^k = 1 + \zeta_5 + \zeta_5^2 + \zeta_5^3 + \zeta_5^4 = 0.$$ Tomando la parte real de ambos lados de la ecuación nos da inmediatamente el deseo de identidad.

Answer 4

Deje $\omega = \exp\left(\frac{2\pi i}{5}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$. A continuación, $\omega$ es un quinto de la raíz de la unidad ($\omega^5 = 1$). Entonces $$1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.$$ By taking the real part of both sides (after applying De Moivre's Theorem), we obtain $$1 + \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) = 0.$$ Restando uno de ambos lados da la identidad que usted está después.

Answer 5

Resolver la ecuación de $z^5=1$$z\in\mathbb{C}$. Las soluciones son $1$, $e^{i2\pi/5}$, $e^{i4\pi/5}$, $e^{i6\pi/2}$, $e^{i8\pi/2}$. Dado que estas son el quinto raíces de la unidad, su suma es $0$. Uso de la fórmula de Euler, $$e^{ix}=\cos x+ i\sin x,$$ y considera que, puesto que la suma de las raíces es igual a cero, entonces así debe ser su parte real. Tomando la parte real de las raíces y reordenando se obtiene el resultado requerido.