Fórmula para manteca de cerdo

Question

Tengo la serie:

$$\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}$$

Me parece difícil generalizar en una fórmula, que cualquier explicación sería útil.

Answer 1

Análoga a la de Euler-Mascheroni Constante, tenemos:

$A$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}= 2\sqrt{n}-1.4603545088\ldots+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\frac{1}{24\sqrt{n^{3}}} O+\left( \frac{1}{\sqrt{n^{7}}} \right)$$

donde $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 2\sqrt{n}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}- \ldots-\frac{1}{\sqrt{n}} \right) = 1.4603545088\ldots$

Answer 2

Un decente aproximación es:

$$ \frac{1}{\sqrt1} + \frac{1}{\sqrt2}+⋯+\frac{1}{\sqrt n} \simeq 2\sqrt n $$

Vamos a calcular el límite del cociente uso de 's regla:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt k}}{2\sqrt n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt n}}{2(\sqrt n - \sqrt {n-1})} = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}{\sqrt n} = 1$$

Esto significa que el error relativo entre las dos funciones es pequeño para grandes valores de $n$, y por lo tanto son equivalentes en un límite al $n \rightarrow \infty$

Answer 3

Deje que la anterior suma = $S$ $S \approx \displaystyle \int_1^{n}\dfrac{1}{\sqrt{n}}dn$ = $2(\sqrt{n} - 1)$

Recuerde que este no es un término general/fórmula, esto es sólo una aproximación.